Enunciado

Seja X 1 , X 2 , … , X n a amostra aleatória de uma distribuição uniforme no intervalo [ 0 , θ ] , de modo que

f ( x ) = { 1 θ   0 ≤ x ≤ θ   0     c a s o   c o n t r á r i o    

Então, se Y = m a ́ x ⁡ X i , é possível mostrar que a va U = Y / θ possui função densidade

f U ( u ) = { n u n - 1   0 ≤ u ≤ 1   0     c a s o   c o n t r á r i o    

a. Use f U ( u ) para verificar que

P ( α / 2 ) 1 / n < Y θ ≤ ( 1 - α / 2 ) 1 / n = 1 - α

e use a expressão para encontrar o IC de 100 ( 1 - α ) % para θ .

b. Verifique se P α 1 / n ≤ Y / θ ≤ 1 = 1 - α e encontre o IC de 100 ( 1 - α ) % para θ com base nessa declaração de probabilidade.

c. Qual dos dois intervalos deduzidos anteriormente é menor? Se meu tempo de espera por um ônibus, pela manhã, for uniformemente distribuído e os tempos de espera observados forem x 1 = 4,2 , x 2 = 3,5 , x 3 = 1,7 , x 4 = 1,2 , e x 5 = 2,4 , encontre o IC de 95 % para θ usando o intervalo menor

Passo 1

E ai pessoal na opção a o exercício pede que a gente Use f U ( u ) para verificar que

P ( α / 2 ) 1 / n < Y θ ≤ ( 1 - α / 2 ) 1 / n = 1 - α

e use a expressão para encontrar o IC de 100 ( 1 - α ) % para θ .

Vamos lá!!

a. ∫ ( α / 2 ) 1 / n ( 1 - α / 2 ) 1 / n   n u n - 1 d u = u n ∫ ( α / 2 ) ( 1 - α / 2 ) 1 / n ( α - α   = 1 - α 2 - α 2 = 1 - α .

Da declaração de probabilidade , ( α / 2 ) 1 / n m a x X i ≤ 1 θ ≤ ( 1 - α / 2 ) 1 / n m a x X i com probabilidade 1-α, então tomando o recíproco de cada ponto final e trocando dá o C.I.

m a x X i ( 1 - α / 2 ) 1 / n , m a x X i ( α / 2 ) 1 / n para θ .

Passo 2

Verifique se P α 1 / n ≤ Y / θ ≤ 1 = 1 - α e encontre o IC de 100 ( 1 - α ) % para θ com base nessa declaração de probabilidade

Então vamos verificar :)

b. α 1 / n ≤ m a x X i θ ≤ 1 com probabilidade 1 - α , então 1 ≤ θ m a x X i ≤ 1 α 1 / n com probabilidade 1-α, que produz o intervalo m a x X i , m a x X i α 1 / n

Passo 3

c. Verifica-se facilmente que o intervalo de b é mais curto - desenhe um gráfico de f U ( u ) e verifique que o menor intervalo que captura a área 1-α sob a curva é o intervalo mais à direita, que leva ao C.I. de b. Com α = . 05 , n = 5 , m a x x l = 4.2 ; isto produz (4,2, 7,65).

Resposta

a . m a x X i ( 1 - α / 2 ) 1 / n , m a x X i ( α / 2 ) 1 / n para θ .

b. m a x X i , m a x X i α 1 / n

c. (4,2, 7,65).

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