Enunciado

Sou responsável por três tarefas no prédio administrativo. Seja X i = o tempo que leva a i-ésima tarefa ( i = 1 ,   2 ,   3 ), e X 4 = o tempo total, em minutos, que eu perco, andando pelo prédio e entre cada tarefa. Suponha que os X i s sejam independentes, normalmente distribuídos, com as seguintes médias e desvios padrão: μ 1 = 1 , σ 1 = 15 ,   μ 2 = 5 , σ 2 = 1 , μ 3 = 8 , σ 3 = 2 , μ 4 = 1 2 , σ 4 = 3 . Pretendo sair do escritório exatamente às 10 h e deixar um bilhete na porta, dizendo: “Retornarei às t h”. A que horas t devo escrever, se quiser que a probabilidade da minha chegada depois de   t seja 0,01?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão precisamos apenas saber que para uma combinação linear W = a X 1 + b X 2 , a média, a variância e o desvio padrão são:

μ W = a μ 1 + b μ 2

σ W 2 = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

σ W = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

Então, para o nosso exemplo W = X 1 + X 2 + X 3 + X 4

μ X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = μ X 1 + μ X 2 + μ X 3 + μ X 4 = 15 + 5 + 8 + 12 = 40

σ X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = σ X 1 2 + σ X 2 2 + σ X 3 2 + σ X 4 2 = 4 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 = 5,4772

Queremos uma probabilidade de 1 % , logo a variável z é:

z = 2,33

Por fim, o valor correspondente é a média aumentada pelo produto da variável z e o desvio padrão.

x = μ + z σ = 40 + 2,33 5,4772 = 53

Então, a probabilidade de chegar após 53 minutos é de 0,01. Então, o bilhete deve ser escrito às 10:53.

Resposta

10h 53min

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