Enunciado

Seja μ o pH real de um composto químico. Será feita uma seqüência de n determinações independentes do pH da amostra. Suponha que o pH de cada amostra seja uma variável aleatória com valor esperado μ e desvio padrão 0,1. Quantas determinações serão necessárias se quisermos que a probabilidade da média amostral esteja entre 0,02 do pH real seja de no mínimo 0,95? Que teorema justifica seu cálculo de probabilidade?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Vamos definir n como número de determinações necessárias para obter a probabilidade de interesse, onde o evento de interesse é:

μ - 0,02 ≤ X - ≤ μ + 0,02

Sendo X - a média da amostra e μ o valor esperado. O valor esperado da média da amostra também é μ e o desvio padrão é 0,01 / n . Portanto, a probabilidade é dada da seguinte forma:

P μ - 0,02 ≤ X - ≤ μ + 0,02 = P μ - 0,02 - μ 0,1 / n ≤ X - - μ 0,1 / n ≤ μ - 0,02 - μ 0,1 / n

= P - 0,2 n ≤ Z ≤ 0,2 n

O valor de x pode ser calculado como:

P - x ≤ Z ≤ x = 0,95

P - x ≤ Z ≤ x = P Z ≤ x - P Z ≤ - x

= Φ x - Φ ( - x )

P - x ≤ Z ≤ x = 2 ∙ Φ x - 0,5

Onde Φ x - 0,5 é a área de 0 até x . Pela curva normal padrão ser simétrica, a área de - x até 0 é igual a área de 0 até x . Logo:

2 ∙ Φ x - 0,5 = 0,95

Φ x = 0,975

Pela tabela de probabilidade, o valor de x para Φ x = 0,975 é x = 1,96 .

P - 1,96 ≤ Z ≤ 1,96 = 0,95

Por fim, podemos usar a fórmula que definimos lá em cima para achar n .

0,2 n = 1,96

n = 94

E o teorema que justifica o cálculo acima é o teorema do limite central!!

Resposta

n = 94

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