Enunciado

10-27. A distância global viajada por uma bola de golfe é testada. ati-

rando a bola com o lron Byron,um jogador mecânico.com um balanco

que é dito emular o legendario campe:io Byron Nelson. Dez bolas, sele-

cionadas alcatoriamente a partir de duas marcas diferentes, são testa-

das, sendo a distáncia global medida. O)s dados são:

a) Há evidencia de que a distância global seja distribuída aproximada-

mente de forma normal? Uma suposição de variâncias iguais é

justificada?

b) Teste a hipótese de que ambas as marcas de bola tém iguais distân

cias médias globais. Use a = 0.05. Qual é o valor P?

c)Construa um intervalo de confiança de 955 para a diferença média

entre as duas marcas de bolas de golfe.

d) Qual é a potência do teste estatístico do item (b) para detectar uma

diterenca verdadeira na distancia média global de 5 jardas?

e) Que tamanho de amostra seria requerido para detectar uma diferen-

ça verdadeira na distáncia média global de 3 jardas com poténcia de

aproximadamente 0.75?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 10 n 2 = 10 α = 0.05

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:

x - 1 = 275 + 286 + 287 + … + 275 + 263 + 267 10 ≈ 275.7 x - 2 = 258 + 244 + 260 + … + 270 + 263 + 268 10 ≈ 265.3

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s 1 = ( 275 - 275.7 ) 2 + … + ( 267 - 275.7 ) 2 10 - 1 ≈ 8.0284 s 2 = ( 258 - 265.3 ) 2 + … + ( 268 - 265.3 ) 2 10 - 1 ≈ 10.0449

Passo 2

Letra a:

Gráfico da probabilidade normal:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem n valores de dados, então as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde à menor quantidade de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e assim por diante.

Marca 1:

Marca 2:

A suposição de normalidade parece válida. É provável que os padrões nos gráficos de probabilidade normal sejam aproximadamente lineares e não contenham nenhuma curvatura forte.

A suposição de variâncias iguais parece ser válida, porque a razão dos desvios padrão (maior para o menor) é menor que 2.

Passo 3

Letra b:

Determine as hipóteses:

H 0 = μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 ≠ μ 2

Determine o desvio padrão agrupado:

s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = ( 10 - 1 ) 8.0284 2 + ( 10 - 1 ) 10.0449 2 10 + 10 - 2 ≈ 9.0927

Determine a estatística de teste:

t = x - 1 - x - 2 s p 1 n 1 + 1 n 2 = 275.7 - 265.3 9.0927 1 10 + 1 10 ≈ 2.558

Determine o valor P correspondente da tabela de distribuição T-Student no apêndice com d f = n 1 + n 2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18 :

0.02 = 2 × 0.01 < P < 2 × 0.025 = 0.05

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que os mesmos da população são diferentes.

Passo 4

Letra c:

c = 95 % = 0.95 ⇒ α = 1 - c = 1 - 0.95 = 0.05

Determine t α / 2 usando a tabela de distribuição T-Student, que é dada na coluna com α / 2 = 0.025 e na linha com d f = n 1 + n 2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18 :

t 0.025 = 2.101

Determine o desvio padrão agrupado:

s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = ( 10 - 1 ) 8.0284 2 + ( 10 - 1 ) 10.0449 2 10 + 10 - 2 ≈ 9.0927

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

  x - 1 - x - 2 - t α 2 ⋅ s p 1 n 1 + 1 n 2 = ( 275.7 - 265.3 ) - 2.101 ⋅ 9.0927 1 10 + 1 10 ≈ 1.8565 x - 1 - x - 2 + t α / 2 ⋅ s p 1 n 1 + 1 n 2 = ( 275.7 - 265.3 ) + 2.101 ⋅ 9.0927 1 10 + 1 10 ≈ 18.9435

Estamos 95 % confiantes de que a distância geral média da marca 1 é entre 1.8565 e 18.9435 mais alta do que a distância total média da marca 2.

Passo 5

Letra d:

Δ 0 = diferença média hipotética = 0

Δ = diferença média verdadeira = 5

Determine o desvio padrão agrupado:

σ ≈ s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = ( 10 - 1 ) 8.0284 2 + ( 10 - 1 ) 10.0449 2 10 + 10 - 2 ≈ 9.0927

O fator de escala de abscissas d é o valor absoluto da diferença absoluta nas diferenças médias dividido por duas vezes o desvio padrão da população.

d = Δ - Δ 0 2 σ = | 5 - 0 | 2 ( 9.0927 ) ≈ 0.27

Então, obtemos a probabilidade de um erro do tipo II β usando as curvas características operacionais no apêndice para α = 0.05 com d = 0.27 e n 2 = 2 n - 1 = 2 ( 10 ) - 1 = 20 - 1 = 19 :

β = 0.8

A potência é 1 diminuída da probabilidade de um erro de II:

Potência  = 1 - β = 1 - 0.8 = 0.2

Passo 6

Letra e:

Δ 0 = Diferença média hipotética = 0

Δ = Diferença média verdadeira = 5

Potência = 0.75

β = 1 - P o t ê n c i a   = 1 - 0.75 = 0.25

Determine o desvio padrão agrupado:

σ ≈ s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = ( 10 - 1 ) 8.0284 2 + ( 10 - 1 ) 10.049 2 10 + 10 - 2 ≈ 9.0927

O fator de escala de abscissas d é o valor absoluto da diferença absoluta nas diferenças médias dividido por duas vezes o desvio padrão da população.

d = Δ - Δ 0 2 σ = | 5 - 0 | 2 ( 9.0927 ) ≈ 0.27

Em seguida, obtemos o tamanho da amostra n * usando as curvas características de operação no apêndice para α = 0.05 com d = 0.27 e β = 0.25 :

n * > 10

O tamanho da amostra n é o valor obtido a partir das curvas características de operação acrescidas de 1, dividido por 2.

n = n * + 1 2 > 101 + 1 2 = 101 2 = 50.5 ≈ 51

Resposta

  1. Suposição satisfeita
  2. 0.02 < P < 0.05 . Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que os mesmos da população são diferentes.
  3. 1.8565 < μ < 18.9435
  4. 0.2
  5. n 1 = n 2 > 51
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