Enunciado

Seja X resultado de um dado lançado uma vez. Se antes de lançar o dado, oferecessem a você (1/3,5) dólares ou h(X) 1/X dólares, você aceitaria a quantia garantida ou faria a aposta? [Nota: Normalmente não é verdade que 1/E(X) E(1/X).]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A variável aleatória definida é discreta. Isso significa que os comentários a seguir devem ser usados para calcular os valores esperados.

O valor esperado (valor médio) de uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x) é

E X =   μ X =   ∑ x   ϵ   S x ∙ p x

O valor esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x), denotado como E g X μ x é

E g X =   μ g X =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

Passo 2

A função de interesse é h(X) = 1/Xh(X)=1/X. Portanto, pelo comentário, é verdade que

E h x =   ∑ x   ∈ S h x ∙ p x =   ∑ x   ∈ S 1 x ∙ p x

= 1 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 3 ∙ 1 6 + 1 4 ∙ 1 6 + 1 5 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 = 49 120  

Para escolher uma das opções, o valor esperado e os valores dados 1 3.5 devem ser comparados. Como o valor esperado E[h(X)] é maior, deve-se optar por apostar.

Resposta

Escolha jogar como E[h(X)] = 49/120 > 1/3.5

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