Enunciado

Seja X o tempo que um livro de uma reserva de duas horas, na biblioteca de uma faculdade, é examinado por um estudante selecionado aleatoriamente e suponha que X tenha função de densidade

f x = f x = 0,5 x ,     0 ≤ x ≤ 2 0 ,         c a s o   c o n t r á r i o

Calcule as probabilidades a seguir:

a. P ( X ≤ 1 )

b. P ( 0,5 ≤ X ≤ 1 , 5 )

c. P ( 1,5 < X )

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos devorar esse aqui!

Passo 2

Vamos ao item a)

Para calcularmos P ( X ≤ 1 ) vamos partir da definição.

P X ≤ 1 = ∫ - ∞ 1 f x d x

Podemos facilitar um pouco o nosso trabalho da seguinte maneira:

P X ≤ 1 = ∫ 0 1 1 2 x d x = 1 4 x 2 1 0 = 0.25

Passo 3

Agora, podemos partir ao item b), onde queremos calcular P ( 0,5 ≤ X ≤ 1,5 ) , vamos partir de uma ideia semelhante dada a definição.

Nesse item já vamos pular a parte inicial da integral, visto que f(x) só assume valores diferente de 0 no intervalo dado pelo enunciado.

Assim:

P 0,5 ≤ X ≤ 1,5 = ∫ 0.5 1.5 1 2 x d x = 1 4 x 2 1 . 5 0 . 5 = 0.5

Passo 4

Por fim, fazendo o item c)

Seguiremos os mesmos passos, só tomando cuidado com os extremos de integração. Assim:

P 1,5 < X = ∫ 1.5 ∞ f x d x

Podemos facilitar nossos extremos dado os intervalos em que a função é não nula.

P 1,5 < X = ∫ 1.5 2 1 2 x d x = 1 4 x 2 2 1 . 5 = 7 16

Resposta

a) P X ≤ 1 = 0.25

b) P 0,5 ≤ X ≤ 1,5 = 0.5

c) P 1,5 < X = 7 16

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