Enunciado

Sendo X   ~   b n = 10 ,   p = 0,5 , pergunta-se:

a) Para uma amostra de 2 observações dessa variável qual é a probabilidade da média amostral ser superior a 9 ? Justifique.

b) Para uma amostra de 100 observações dessa variável qual é a probabilidade da média amostral ser superior a 4,7 ? Justifique.

Passo 1

Pelo que foi dado no enunciado, a variável aleatória X obedece uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0,5 . Assim, a média dessa variável aleatória é

μ = n p = 10 ⋅ 0,5 = 5

Sua variância é

V a r X = n p 1 - p = 10 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 2,5 ⇒ σ = 2,5

Para uma amostra X 1 ,   X 2 , … ,   X n , temos que

X - = X 1 + X 2 + … X n n

Sabemos que

E X - = E X i = μ = 5

V a r X - = V a r X i n = 2,5 n

Passo 2

Vamos olhar com calma para o item (a): aqui n = 2 . Com certeza não podemos usar o teorema central do limite para dizer que a distribuição de X - é normal.

Sabemos que

X - = X 1 + X 2 2

Sabemos também que X i = 0 ,   1 ,   2 , … ,   10 . Para que X - > 9 , devemos ter

X 1 + X 2 > 18

Assim, devemos ter

X 1 + X 2 = 19             o u           X 1 + X 2 = 20

Isso pode acontecer em 3 casos diferentes:

X 1 = 10           e         X 2 = 9

X 1 = 9           e           X 2 = 10

X 1 = X 2 = 10

Vamos calcular essa probabilidades usando a distribuição binomial:

P X = k = 10 k p k 1 - p 10 - k

Assim,

P X 1 = 9 = P X 2 = 9 = 10 9 0,5 9 ⋅ 0,5 1 = 10 ⋅ 0,5 10 = 5 2 9

P X 1 = 10 = P X 2 = 10 = 10 10 0,5 10 = 0,5 10 = 1 2 10

Assim, fazendo os produtos:

P X 1 = 10 ,   X 2 = 9 = 1 2 10 ⋅ 5 2 9 = 5 2 19

P X 1 = 9 ,   X 2 = 10 = 1 2 10 ⋅ 5 2 9 = 5 2 19

P X 1 = 10 ,   X 2 = 10 = 1 2 10 ⋅ 1 2 10 = 1 2 20

Agora podemos somar todas as probabilidades:

P X - > 9 = 5 2 19 + 5 2 19 + 1 2 20 = 5 2 18 + 1 2 20

Assim, colocando 1 / 2 18 em evidência:

P X - > 9 = 1 2 18 5 + 1 2 2

Portanto,

P X - > 9 = 21 2 20 = 0,00002

Passo 3

No item (b), temos que n = 100 , de modo que podemos dizer que X - ter uma distribuição normal. Assim,

X - > 4,7 ⇒ X - - μ > 4,7 - 5 = - 0,3

Logo,

X - - μ σ / n > - 0,3 2,5 / 100 = - 3 2,5 = - 1,90

Vamos chamar

Z = X - - μ σ / n

Assim,

P X - > 4,7 = P ( Z > - 1,90 )

Mas podemos escrever:

P Z > - 1,90 = P - 1,90 < Z < 0 + 0,5 ,

pois

P Z > 0 = 0,5

Por simetria, temos que

P - 1,90 < Z < 0 = P ( 0 < Z < 1,9 )

Assim, podemos escrever

P X - > 4,7 = 0,5 + P ( 0 < Z < 1,9 )

Olhando na tabela no final do livro, achamos

P 0 < Z < 1,9 = 0,4713

Portanto,

P X - > 4,7 = 0,5 + 0,4713 = 0,9713

Resposta

P X - > 9 = 21 2 20 = 0,00002

P X - > 4,7 = 0,9713

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