Enunciado

Está sendo testado um novo método analítico de detectar poluentes em água. Esse novo método de análise química é importante porque, se adotado, poderia ser usado para detectar três diferentes contaminantes - poluentes orgânicos, solventes voláteis e compostos clorados - em vez de ter de usar um único teste para cada poluente. As pessoas que elaboraram o teste afirmam que ele pode detectar altos níveis de poluentes orgânicos com 99.7 % de acurácia, solventes voláteis com 99.95 % de acurácia e compostos clorados com 89.7 % de acurácia.

Se um poluente não estiver presente, o teste não sinaliza. Amostras são preparadas para a calibração do teste e 60% delas são contaminadas com poluentes orgânicos, 27 % com solventes voláteis e 13 % com traços de compostos clorados. Uma amostra teste é selecionada aleatoriamente.

  1. Qual é a probabilidade de o teste sinalizar?
  2. Se o teste sinalizar, qual é a probabilidade de os compostos clorados estarem presente?

Passo 1

Vamos dizer o seguinte:

p o p = P ( P o p ) = P ( p o l u e n t e s   o r g â n i c o s   e s t ã o   p r e s e n t e s ) = 0.6

p v s = P ( P v s ) = P ( s o l v e n t e s   v o l á t e i s   e s t ã o   p r e s e n t e s ) = 0.27

p o c = P ( P o c ) = P ( c o m p o s t o s   c l o r a d o s   e s t ã o   p r e s e n t e s ) = 0.13

Além disso, o enunciado nos dá:

q o p = P ( Q o p | P o p ) = P ( t e s t e   s i n a l i z a   c o m   p r e c i s ã o   p o l u e n t e s   o r g â n i c o s ) = 0.997

q v s = P ( Q v s | P v s ) = P ( t e s t e   s i n a l i z a   c o m   p r e c i s ã o   s o l v e n t e s   v o l á t e i s ) = 0.9995

q o c = P ( Q c c | P o c ) = P ( O   t e s t e   s i n a l i z a   c o m   p r e c i s ã o   c o m p o s t o s   c l o r a d o ) = 0.897

Passo 2

Agora, na letra a:

Os eventos P o p ,   P v s ,   e P c c são mutuamente exclusivos e exaustivos. Então, nós podemos empregar a regra de probabilidade total (para múltiplos eventos):

P ( o   t e s t e   s i n a l i z a ) = P ( Q o p | P o p ) P ( P o p ) + P ( Q v s | P v s ) P ( P v s ) + P ( Q o c | P o c ) P ( P o c )

Daí, vamos inserir os valores listados acima e calcular:

P ( t e s t e   s i n a l i z a ) = 0.984675

Passo 3

Na letra b:

A partir do teorema de Bayes, calculamos:

P ( P o c |   t e s t e   s i n a l i z a ) = P ( t e s t e   s i n a l i z a | P o c ) P ( P o c ) P ( t e s t e   s i n a l i z a ) = P ( Q o c | P o c ) P ( P o c ) P ( t e s t e   s i n a l i z a ) = q o c p o c P ( t e s t e   s i n a l i z a )

Daí, vamos inserir os valores e calcular:

P ( P o c |   o   t e s t e   s i n a l i z a )   ≈   0.11842

Resposta

  1. 0.984675
  2. ≈   0.11842
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