Enunciado

Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95 % dos produtos altamente aprovados recebiam boas revisões, 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas revisões e 10 % dos produtos ruins recebiam boas revisões. Além disso, 40 % dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35 % moderadamente aprovados e 25 % tinham sido produtos ruins.

  1. Qual é a probabilidade de um produto atingir uma boa revisão?
  2. Se um novo projeto atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado?
  3. Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado?

Passo 1

Temos o seguinte:

B = produto atinge uma boa revisão.

B ' = produto recebe uma crítica ruim,

A 1 = produto é altamente bem sucedido,

A 2 = produto tem sucesso moderado,

A 3 = produto tem pouco sucesso.

Passo 2

Letra a:

Em (a), a probabilidade do evento B é necessária. Calcule usando a lei da probabilidade total dada abaixo.

Aliás, a lei da probabilidade total é o seguinte: Se A 1 ,   A 2 ,   . . . ,   A n são mutuamente exclusivos, e U n i = 1 A i = S ( = Ω ) , então para qualquer evento B , o seguinte é verdadeiro:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) + . . . + P ( B | A n ) P ( A n ) = ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i )

As probabilidades de P ( B | A i ) ,   P ( A i ) i = 1,2 , 3 são dadas no exercício. A união de todos os eventos A i i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e são mutuamente exclusivos, conseqüentemente, pela lei da probabilidade total, temos:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) + P ( B | A 3 ) P ( A 3 ) = 0.95 × 0.40 + 0.6 × 0.35 + 0.10 × 0.25 ≈ 0.615

Passo 3

Na letra b:

Aqui, a probabilidade do evento A 1 | B é necessária. Para calcular isso, o teorema de Bayes pode ser usado como a união de todos os eventos A i , i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e eles são mutuamente exclusivos.

Aliás, falando sobre o teorema de Bayes, para A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n , eventos mutuamente exclusivos e U n i = 1 A i = Ω as probabilidades anteriores são P ( A i ) ,   i = 1,2 , . . . , n ) . Se B é um evento para o qual P ( B ) > 0 , então a probabilidade posterior de A , dado que B ocorreu é:

P ( A j | B ) = P ( A j ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A j ) P ( A j ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) × P ( A i ) ,   j   = 1,2 , . . . n

Então, é verdade que:

P ( A 1 | B ) = P ( A 1 ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i ) ≈ 0.618

onde (a) é usado.

Passo 4

Na letra c:

Aqui, a probabilidade do evento A 1 | B ' é necessária. Para calcular isso, o teorema de Bayes pode ser usado como a união de todos os eventos A i , i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e eles são mutuamente exclusivos.

Então, é verdade que:

P ( A 1 | B ' ) = P ( A 1 ∩ B ' ) P ( B ' ) = P ( B ' | A 1 ) P ( A 1 ) 1 - P ( B ) ≈ 0.052

onde (a) e (b) são usados.

Resposta

  1. P ( B )   ≈   0.615
  2. P ( A 1 | B )   ≈   0.618
  3. P ( A 1 | B ' )   ≈   0.052
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