Enunciado

Um sistema de circuitos é dado na Figura 2 .11. Assuma que os componentes falham independentemente.

(a) Qual é a probabilidade de que o sistema todo funcione?

(b) Dado que o sistema funciona, qual é a probabilidade de que o componente A não esteja funcionando?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos.

O sistema só irá funcionar se: o componente A funcionar e o componente B ou C funcionar e o componente D funcionar e o componente E funcionar.

As probabilidades são:

P A = 0,7             e             P A ' = 0,3

P B = 0,7

P C = 0,8

P D = 0 , 8

P E = 0,8

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade para o sistema funcionar.

Essa probabilidade é P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E . E a seguinte relação é verdadeira:

  P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E = P A ∩ B + P C ∩ D ∩ E - P A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E

Como os componentes são independentes, podemos aplicar a seguinte simplificação:

= P A ∙ P B + P C ∙ P D ∙ P E - P ( A ) ∙ P ( B ) ∙ P ( C ) ∙ P ( D ) ∙ P ( E )

Substituindo os valores do enunciado.

P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E = 0,7 ∙ 0,7 + 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 - 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8

P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E = 0,751

Então, a probabilidade para o sistema funcionar é 0,751 .

Passo 3

A segunda probabilidade pode ser definida como P A ' s i s t e m a   f u n c i o n a .

De acordo com a definição de probabilidade condicional, temos:

P A ' s i s t e m a   f u n c i o n a = P A ' ∩ s i s t e m a   f u n c i o n a P ( s i s t e m a   f u n c i o n a )

Primeiro, vamos encontrar P A ' ∩ s i s t e m a   f u n c i o n a pela probabilidade de que dado que componente A falha, o sistema funciona.

P A ' ∩ s i s t e m a   f u n c i o n a = P ( A ' ) ∙ P ( s i s t e m a   f u n c i o n a | A ' )

P A ' ∩ s i s t e m a   f u n c i o n a = P ( A ' ) ∙ P ( C ∩ D ∩ E )

= 0,3 ∙ 0,8 3

P A ' ∩ s i s t e m a   f u n c i o n a = 0,1536

Por fim, podemos achar a probabilidade solicitada pelo enunciado.

P A ' s i s t e m a   f u n c i o n a = P A ' ∩ s i s t e m a   f u n c i o n a P ( s i s t e m a   f u n c i o n a )

= 0,1536 0,751

P A ' s i s t e m a   f u n c i o n a = 0,205

Resposta

a) 0,751

b) 0,205

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