Enunciado

Um restaurante serve três pratos ao preço fixo de US$ 12, US$ 15 e US$ 20. Para um casal selecionado aleatoriamente que janta nesse restaurante, sejam X custo do jantar do homem e Y custo do jantar da mulher. A fmp conjunta de X e Y é dada na tabela a seguir:

a. Calcule as fmps marginais de X e Y .

b. Qual é a probabilidade de o jantar do homem e da mulher custar no máximo US$ 15 cada?

c. X e Y são independentes? Justifique sua resposta.

d. Qual é o custo total esperado do jantar para as duas pessoas?

e. Suponha que, quando um casal abre biscoitos da sorte no final da refeição, encontra a mensagem “Vocês receberão de volta a diferença entre o custo da refeição mais cara e o da mais barata que escolheram”. Quanto o restaurante espera devolver?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos esse exercício basicamente vamos precisar ver os valores correspondentes na tabela do enunciado e achamos a solução. Bora lá!!!

Passo 2

A fdc marginal de X são os totais de linha da tabela fornecida:

p X 12 = 0,05 + 0,05 + 0,1 = 0,2

p X 12 = 0,05 + 0 , 1 + 0 , 35 = 0 , 5

p X 20 = 0 + 0 , 2 + 0,1 = 0 , 3

E a fdc marginal de Y é:

p Y 12 = 0,05 + 0,05 + 0 = 0 , 1

p Y 12 = 0,05 + 0,1 + 0 , 2 = 0 , 35

p Y 20 = 0 , 1 + 0 , 35 + 0,1 = 0 , 55

Passo 3

A probabilidade de que ambos custem no máximo US$ 15 é:

P X ≤ 15   e   Y ≤ 15 = p 12 ,   12 + p 12 ,   15 + p 15 ,   12 + p ( 15,15 )

= 0,05 + 0,0 5 + 0,05 + 0,1

P X ≤ 15   e   Y ≤ 15 = 0,25

Passo 4

As variáveis X e Y não são independentes, porque as linhas da tabela do enunciado não contêm os mesmos valores.

Passo 5

O custo total do jantar é a soma do custo de cada jantar, logo X + Y .

O valor esperado é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E X + Y = ∑ x + y p x , y

= 12 + 12 × 0,05 + 12 + 15 × 0,05 + 12 + 20 + 15 + 12 × 0,05 + 15 + 15 × 0,1 + 15 + 20 × 0,35 + 20 + 12 × 0 + 20 + 15 × 0,2 + ( 20 + 20 ) × 0,1

E X + Y = 33,35

Logo, o total esperado é US$ 33,35.

Passo 6

A devolução é a dirença entre a média mais cara e média menos cara, então X - Y .

O valor esperado é calculado de forma similar ao Passo 5.

E X - Y = ∑ x + y p x , y

= 12 - 12 × 0,05 + 12 - 1 5 × 0,05 + 12 - 20 × 0 , 1 + 15 - 12 × 0,05 + 15 - 15 × 0 , 1 + 15 - 20 × 0 , 35 + 20 - 12 × 0 + 20 - 1 5 × 0 , 2 + 20 - 20 × 0 , 1

E X - Y = 3,85

Portanto, o reembolso esperado é de US$ 3,85.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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