Enunciado

Suponha que a função de probabilidade conjunto de variáveis aleatórias contínuas X e Y seja constante no retângulo. Mostre que X e Y são independente.

Passo 1

A função de probabilidade conjunta das variáveis ​​aleatórias contínuas X e Y é constante no retângulo 0 < x < a ,   0 < y < b .

Vamos mostrar que X e Y são independentes.

Seja f ( x , y ) = k   para 0 < x < a ,   0 < y < b

A função de probabilidade conjunta de X e Y è:

∫ 0 a ∫ 0 b f X Y ( x , y ) d y d x = ∫ 0 a ∫ 0 b k d y d x

= a b k

Sabemos que a b k = 1 , portanto k = 1 a b .

Passo 2

Agora calculamos a função de probabilidade marginal de X e Y.

f X ( x ) = ∫ 0 b k d y

= 1 a   p a r a   0 < x < a

f Y ( y ) = ∫ 0 a k d x

= 1 b   p a r a   0 < y < b

Portanto,

f X Y ( x , y ) = 1 a b

= f X ( x ) × f Y ( y )

Conseqüentemente, X e Y são independentes.

Resposta

Conseqüentemente, X e Y são independentes.

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