Enunciado

Suponha que X este seja uma variável aleatória com número desconhecido e variância conhecida sigma^2. A distribuição prévia para mim é uma distribuição normal com média e variância. Mostre que o estimador de Bayes para mi se torna o estimador de máxima verossimilhança quando tamanho da amostra n torna-se grande.

Passo 1

A variável aleatória X é uma variável aleatória normal com média desconhecida e uma variância conhecida σ 2 .

Vamos mostrar que o estimador de Bayes para μ   é o estimador de máxima verossimilhança quando o tamanho da amostra n é grande.

O estimador de Bayes para a média posterior μ

μ ^ = σ 2 n μ 0 + σ 2 0 x ̄ σ 2 0 + σ 2 n

Passo 2

Quando o tamanho da amostra n é grande σ 2 n torna-se relativamente pequeno, então o valor do estimador de Bayes é:

μ ^ = σ 2 n μ 0 + σ 2 0 x ̄ σ 2 0 + σ 2 n = x ̄

A estimativa de Bayes de μ é uma média ponderada de μ 0 e x ̄ . Portanto, x ̄ é o estimador de máxima verossimilhança de p para a distribuição normal.

Resposta

μ ^ = x ̄

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