Enunciado

O tempo entre falhas de uma marca tem uma distribuição exponencial com parâmetro oito. Suponha que a distribuição prévia para seja exponencial com 100 horas. Duas máquinas são observadas e o tempo médio entre falhas é x=1125horas.

  1. Encontre a estimativa de Bayes para lambda.
  2. Que proporção das máquinas você pensa que falharam antes de 1000 horas?

Passo 1

Letra a:

A distribuição anterior de λ é f ( λ ) = ( 0.01 e - 0.01 λ )

Seja X 1 , X 2 o tempo médio entre a falha de 2 máquinas e cada uma tem uma distribuição exponencial com o parâmetro λ

A função de probabilidade conjunta é:

f ( x 1 ,   x 2 | λ ) = λ 2 e - λ ( x 1 + x 2 + 0.01 ) h ( x 1 ,   x 2 )

Passo 2

Uma vez que f ( x 1 ,   x 2 ) não depende da distribuição λ , a distribuição anterior para λ é:

f ( λ | x 1 ,   X ' x 2 ) = f ( x 1 ,   X ' x 2 | λ ) f ( x 1 , x 2 ) = λ 2 e - λ ( x 1 + x 2 + 0.01 ) h ( x 1 , x 2 )

Temos os parâmetros a = 2 x ̄ + 0.01 e b = 1 com média posterior λ = b a . Duas máquinas são observadas, e o tempo médio entre as falhas é x ̄ = 1125   h o r a s   .

O estimador de Bayes de λ é λ ^ = b a = 4.4 x 1 0 - 4

Passo 3

Letra b:

A proporção de máquinas que irão falhar antes de 1000 horas é:

P ( X < 1000 ) = 1 - e x ̄ λ

P ( X < 1000 ) = 0.3904

Resposta

  1. O estimador de Bayes de λ é λ ^ = b a = 4.4 x 1 0 - 4
  2. P ( X < 1000 ) = 0.3904
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