Enunciado

Suponha que X tenha uma distribuição de probabilidades uniformes

f X ( x ) = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

Mostre que a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y= -2lnX é uma variável qui-quadrado com dois graus de liberdade.

Passo 1

X tem uma distribuição de probabilidade uniforme

f X ( x ) = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

Vamos calcular a distribuição de probabilidade de Y = -2lnX.

y =   - 2 l n x

x = e - y / 2

Primeiro vamos calcular o Jacobiano.

J = d x d y = d d y ( e - y / 2 ) = - 1 2 e - y / 2

Passo 2

A distribuição de probabilidade de Y é:

f Y ( y ) = f X ( x ) | J | = 1 2 e - y / 2 ,   0 ≤ y < ∞

1 2 e - y / 2 está na forma de 1 2 χ 2 2

Portanto, podemos ver que a distribuição de probabilidade de Y é qui-quadrado com dois graus de liberdade.

Resposta

1 2 e - y / 2 está na forma de 1 2 χ 2 2

Portanto, podemos ver que a distribuição de probabilidade de Y é qui-quadrado com dois graus de liberdade.

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