Enunciado

Suponha que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada, com função densidade de probabilidade conjunta.

  1. mostre que a distribuição condicional de Y, dado que X=x, é normal.
  2. Determine E ( Y | X = x )
  3. Determine V ( Y | X = x )

Passo 1

X e Y seguem uma distribuição normal bivariada com função de probabilidade de densidade conjunta:

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ x σ y 1 - p 2 e x p - 1 2 ( 1 - p 2 ) x - μ x σ x 2 - 2 ρ x - μ x σ x y - μ y σ y + y - μ y σ y 2

Letra a:

Vamos mostrar que a distribuição condicional de Y, dado que X = x é normal:

f y | x ( y | x ) = f ( x , y ) f x ( x )

= f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ x σ y 1 - p 2 e x p - 1 2 ( 1 - p 2 ) x - μ x σ x 2 - 2 ρ x - μ x σ x y - μ y σ y + y - μ y σ y 2 = 1 σ y 2 π e x p - 1 2 x - μ x σ x 2

= = 1 2 π σ x σ y 1 - p 2 e x p - 1 2 ( 1 - p 2 ) σ y 2 y - μ y + ρ σ y σ x ( x - μ x ) 2

Que está na forma de uma distribuição normal univariada com uma média

μ y + ρ σ y σ x ( x - μ x )

E variância:

σ 2 y ( 1 - ρ 2 )

Passo 2

Letra b:

Vamos determinar E ( Y | X = x ) :

E ( Y | X = x ) = μ y + ρ σ Y σ X ( x - μ x )

Passo 3

Letra c:

Vamos determinar V ( Y | X = x ) :

V ( Y | X = x ) = σ 2 Y ( 1 - p 2 )

Resposta

  1. μ y + ρ σ y σ x ( x - μ x ) ,   σ 2 y ( 1 - ρ 2 )
  2. μ y + ρ σ Y σ X ( x - μ x )
  3. σ 2 Y ( 1 - ρ 2 )
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