Enunciado

Suponha que você jogue um dado, não adulterado, de dez lados (0, 1, 2, ..., 9) 500 vezes. Usando o teorema de Chebyshev, calcule a probabilidade de que a média amostral, X , esteja entre 4 e 5.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A variância de X , onde X é uma variável aleatória discreta com um conjunto de valores possíveis S e função de probabilidade de massa p ( x ) é:

V X = ∑ x x - μ 2 p x = E X - μ 2

E o desvio-padrão:

σ X = V ( X )

O dado tem 10 lados. Ao rolar n = 500 vezes, o valor esperado e o desvio-padrão são conhecidos, E X - = μ e V X - = σ 2 / n . O dado não é adulterado, o que significa que cada um dos números tem a probabilidade de 1 / 10 , logo, a média é:

E X = 1 10 0 + 1 10 1 + … + 1 10 9 = 4,5

E a variância:

V X = 0 - 4,5 2 1 10 + 1 - 4,5 2 1 10 + … + 9 - 4,5 2 1 10 = 8,256

Logo, temos que σ X = 8,256 = 2,8733 . Isso implica E X - = 4,5 e V X - = 2,8733 / 500 = 0,1284 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Pelo teorema de Chebyshev:

P μ - k σ / n < X - < μ + k σ / n ≥ 1 - 1 k 2

O valor da constante k pode ser encontrada com a fórmula μ + k σ / n = 5 :

k = 5 - 4,5 0,1284 = 3,892

Portanto, a probabilidade é:

P ( 4,5 - 3,892 0,1284 < X - < 4,5 + 3,892 0,1284 ≥ 1 - 1 3,892 2

P 4 < X - < 5 ≥ 1 - 1 3,892 2 = 0,93

Resposta

P 4 < X - < 5 = 0,93

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