Enunciado

A tabela a seguir resume os dados sobre o ganho de peso corporal (g) de uma amostra de animais, aos quais foi dada uma dose de 1 mg/pílula de um esteróide leve e de uma amostra de animais de controle ("The Soft Drug Approach," CHEMTECH, 1984, p. 28-38).

Os dados sugerem que o ganho de peso médio real na situação de controle excede o do tratamento com esteróide por mais de 5 g? Determine e teste as hipóteses apropriadas em um nível de significância de 0,01, utilizando o método do valor P

Passo 1

Temos que m=32 e n=32 são tamanhos de amostra, e que X 1 , … , X m são variáveis ​​aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas (temos que usar a suposição de normalidade para prosseguir com o teste) com média μ ! e desvio padrão σ 1 , ambos desconhecidos (estes representam as perdas de peso para aqueles atribuídos à dieta vegana).

Também nos é dado que Y 1 , … , Y n são variáveis ​​aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas (temos que usar a suposição de normalidade aqui também) com média μ 2 e desvio padrão σ 2 , ambos desconhecidos (estes representam as perdas de peso para aqueles atribuídos à dieta controle).

Além disso, X e Y são amostras independentes (portanto, todos os X i são independentes de todos os Y j ).

Queremos testar:

H 0 : μ 1 - μ 2 = 1

H a :   μ 1 - μ 2 > 1

no nível de significância α = 0.05 .

Passo 2

A estatística de teste usada para testar as hipóteses acima é

T = X - - Y - - ( μ 1 - μ 2 ) S 1 1   m + S 2 2   n

que, sob a hipótese nula, segue a distribuição t com ν graus de liberdade, onde ν é calculado como

v   = s 1 2 m + s 2 2 n 2 s 1 1 m 2 m - 1 + s 2 2 n 2 m - 1 = 3.2 2 32 + 2.8 2 32 2 3.2 2 32 2 32 - 1 + 2.8 2 32 2 32 - 1   ≈ 60.93

Substituindo os valores dados, X - = 5.8 ,   Y - = 3.8 ,   S 1 = 3.2 ,   S 2 = 2.8 ,   m = 332 ,   n = 32   e ∆ 0 = μ 1 -   μ 2 = 1 (este é o valor nulo, ou seja, o valor assumido na hipótese nula) na fórmula acima produz o valor da estatística de teste:

T = 5.8 - 3.8 - 1 3.2 2 32 + 2.8 2 32 = 1.330

Como o teste é de cauda superior, então o valor P desse teste é

V a l o r   P = P T v ≥ t = P T 60   ≥ 1.330

onde t denota o valor observado da estatística de teste.

Para encontrar aproximadamente este valor de P, consultamos a tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice. Na linha rotulada ν = 60 (esses são os graus de liberdade), encontramos os dois valores mais próximos de t=1.330. Os dois valores são t 0.10,60 = 1.296 e t 0.05,60 = 1.671 , e t = 1.330   está entre esses dois valores, o que significa que P T 60   ≥ 1.330 está entre 0.05 e 0.10, então podemos concluir que

0.05 < V a l o r   P < 0.10

Para encontrar o valor exato de PP, podemos usar algum software. Uma linha

1 - pt(1,330, df=60)

no software estatístico R relatará o valor P, que resulta em

V a l o r   P = 0.0943

Como o valor P deste teste é maior que nosso nível de significância α = 0 . 05 , então falhamos em rejeitar a hipótese nula, ou seja, não temos evidências suficientes para concluir que a verdadeira perda de peso média para a dieta vegana excede a da dieta controle em mais de 1 kg.

Resposta

O valor da estatística de teste é T=1.330 com o valor P de 0.0943, então não rejeitamos a hipótese nula

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