Enunciado

O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de certo pesticida, após sua aplicação em um pomar, é uma variável aleatória Exponencial de parâmetro 2 (em anos). O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva, vento e umidade da região.

Tendo em vista esse comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação.

Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não estar mais contaminada após 1 ano da pulverização. Qual é a nossa “segurança” se aguardarmos 2 anos para consumir essas frutas?

Passo 1

Antes de tudo, vamos identificar quem é a nossa variável:

X = t e m p o   p a r a   e l i m i n a r   p e r i g o   d e   c o n t a m i n a ç ã o .   ( e m   a n o s )

E sabemos, pelo enunciado, que X ~ E x p ( 2 ) .

Se você se lembrar, a função densidade de probabilidade quando temos um modelo exponencial, é dada pelo seguinte:

f x = α e - α x ,           x ≥ 0 ; 0 ,         c a s o   c o n t r á r i o .

Onde α é justamente o parâmetro do modelo; isso significa que no nosso caso ficaremos com o seguinte:

f x = 2 e - 2 x ,           x ≥ 0 ; 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o .

Passo 2

Repare que, para após um ano não existir mais contaminação, é necessário que toda a contaminação tenha sido eliminada antes de se fazer um ano.

Em outras palavras, temos que encontrar a probabilidade de a contaminação ser eliminada antes de um ano:

P X < 1 = ∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 2 e - 2 x d x

Chamando u = - 2 x → d u = - 2 , e então encontramos:

∫ 0 1 2 e - 2 x d x = - e - 2 x 1 0

Portanto,

P X < 1 = 1 - e - 2 = 0,8647

Interpretando esse resultado, significa que existe uma chance de 86,47 % de a contaminação ser eliminada totalmente no período de um ano.

Passo 3

Depois, o exercício pergunta qual a “segurança” que podemos ter, se esperarmos dois anos.

Bom, então basta ver qual a probabilidade de a contaminação ser eliminada num intervalo de zero até dois anos.

Logo,

P X < 2 = ∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 2 2 e - 2 x d x = - e - 2 x 2 0

Ou seja,

P X < 2 = 1 - e - 4 ≅ 0,982

Isso significa que num período de dois anos, 98,2 % da contaminação será eliminada.

Resposta

Concluindo, no período de um ano, 86,47 %   da contaminação será eliminada; enquanto que se aguardarmos dois anos, nossa margem de segurança será de 98,2 %   da contaminação sendo eliminada.

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Um banco faz operações via internet e, após um estudo sobre o serviço prestado concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos): f x = 1 4 k e - 1 4 k x ,x0 Com k sendo 1 ou 2 ,
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