Enunciado

Vigas de ferro são soldadas em toda sua extensão a uma estrutura metálica. Uma falha na soldagem pode aparecer com probabilidade de 0,1 e , se ocorrer, será em qualquer ponto da viga com igual probabilidade. Se a viga tem especificação de comprimento igual a 6   m e t r o s , determine:

  1. Sabendo que uma falha ocorreu, a probabilidade de ela ser distante no máximo em um metro das extremidades.
  2. A Probabilidade de ocorrer falha de solda nos dois metros centrais da viga.

Passo 1

Vamos lá, em exercícios como esse é muito importante, antes de mais nada, que identifiquemos quem é a variável, e que tipo de comportamento ela tem (normal, exponencial, uniforme).

Então seja: X = d i s t â n c i a   d a   f a l h a   a t é   a s   e x t r e m i d a d e s (   e m   m e t r o s ) .

Agora perceba que, como dito pelo enunciado, a probabilidade de ocorrer uma falha em qualquer ponto da viga é a mesma; isso significa dizer que temos uma distribuição uniforme, então:

X ~ U n i f o r m e 0 ; 6

E lembre-se que uma variável com distribuição uniforme possui uma função densidade na seguinte forma:

f x = 1 b - a ,       s e     a ≤ x ≤ b ; 0 ,       C a s o   c o n t r á r i o .

Logo, para a nossa variável:

f x = 1 6 - 0 ,       s e     0 ≤ x ≤ 6 ; 0 ,       C a s o   c o n t r á r i o .

Passo 2

Tendo definido nossa variável, vamos interpretar o que o enunciado pede:

Na alternativa A:

Ele nos diz que já houve uma falha, temos portanto uma condicional:

P X < 1   o u   X > 5     h o u v e   f a l h a )

Se você se lembrar da formulinha para probabilidades condicionais:

P X < 1   o u   X > 5     h a v e r   f a l h a ) = P X < 1   o u   X > 5   ∩ h a v e r   f a l h a P h a v e r   f a l h a

Como os eventos são disjuntos/independentes, podemos dizer o seguinte:

P ( 0 < X < 1   o u   5 < X < 6 ) = P 0 < X < 1 + P ( 5 < X < 6 )

E

P X < 1   o u   X > 5   ∩ h a v e r   f a l h a = P X < 1   o u   X > 5 .   P ( h a v e r   f a l h a ) ⏟ 0,1

Então teremos:

P 0 < X < 1 = ∫ 0 1 1 6 d x = 1 6

P ( 5 < X < 6 ) = ∫ 5 6 1 6 d x = 1 6

Ou seja,

P X < 1   o u   X > 5 |   h a v e r   f a l h a = 1 3 0,1 0,1 = 1 3

Passo 3

Já na letra B, queremos que ocorra falha E que seja nos dois metros centrais da viga:

P 2 ≤ X ≤ 4 .     P ( o c o r r e r   f a l h a ) ⏟ 0,1 =   ?

Pois são esses os dois metros centrais da viga, certo?

Então fica fácil,

P 2 ≤ X ≤ 4 = ∫ 2 4 1 6 d x = 1 6 4 - 2 = 1 3

E portanto,

1 3   .   0,1 = 0,0333

Resposta

Concluimos que:

(a) P X < 1   o u   X > 5 = 0,333

(b) P 2 ≤ X ≤ 4 = 0 , 0 333

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