Enunciado

a. Use a fórmula geral da variância de uma combinação linear para escrever uma expressão para V ( a X + Y ) . Então, seja a = σ Y / σ X , e mostre que p ≥ - 1 . [Sugestão: a variância sempre é ≥ 0 , e C o v X , Y = σ X ∙ σ Y ∙ p .]

b. Considerando V a X - Y , conclua que p ≤ 1 .

c. Use o fato de V W = 0 somente se W for uma constante para mostra que p = 1 somente se Y = a X + b .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Nessa questão, vamos precisar provar algumas identidades, nada demais!! Temos apenas que usar algumas fórmulas prontas e usar as dicas do enunciado. Bora lá!!!

Passo 2

Para a variância, podemos escrever a seguinte relação:

V a X + Y = a 2 V X + V Y + 2 a C o v ( X , Y )

= a 2 σ X 2 + σ Y 2 + 2 a σ X σ Y p

Onde, a = σ X / σ Y .

Substituindo na equação da variância.

V a X + Y = σ X σ Y 2 σ X 2 + σ Y 2 + 2 σ X σ Y σ X σ Y p

= σ X 2 + σ Y 2 + 2 σ Y 2 p

= 2 σ Y 2 1 + p

Como o enunciado nos diz que V ≥ 0 . O seguinte é verdadeiro.

2 σ Y 2 1 + p ≥ 0

Então, temos duas condições para V ser maior ou igual a zero.

2 σ Y 2 ≥ 0

1 + p ≥ 0

E a segunda condição pode ser escrita como:

p ≥ - 1

Passo 3

Para a variância, podemos escrever a seguinte relação:

V a X + Y = a 2 V X + V Y - 2 a C o v ( X , Y )

= a 2 σ X 2 + σ Y 2 - 2 a σ X σ Y p

Onde, a = σ X / σ Y .

Substituindo na equação da variância.

V a X + Y = σ X σ Y 2 σ X 2 + σ Y 2 - 2 σ X σ Y σ X σ Y p

= σ X 2 + σ Y 2 - 2 σ Y 2 p

= 2 σ Y 2 1 - p

Como o enunciado nos diz que V ≥ 0 . O seguinte é verdadeiro.

2 σ Y 2 1 - p ≥ 0

Então, temos duas condições para V ser maior ou igual a zero.

2 σ Y 2 ≥ 0

1 - p ≥ 0

E a segunda condição pode ser escrita como:

p ≥ 1

Passo 4

Por fim, supondo que p = 1 , temos:

V a X - Y = 2 σ Y 2 1 - p = 2 σ Y 2 1 - 1 = 0

Para quaisquer variáveis aleatórias X e Y .

V W = 0   →     W = b ,             b - c o n s t a n t e

Logo, o seguinte é verdadeiro.

V a X - Y = 0     →     a X - Y = b ,             b - c o n s t a n t e

Ou, de forma equivalente:

Y = a X + b

Resposta

Todas as relações foram provadas.

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