Enunciado

a. X 1 tem distribuição qui-quadrado com parâmetro v 1 (veja a Seção 4.4), X 2 é independente de X 1 e tem uma distribuição qui-quadrado com parâmetro v 2 . Use a técnica do Exemplo 5.21 para mostrar que X 1 + X 2 tem uma distribuição qui-quadrado com parâmetro v 1 + v 2 .

b. No Exercício 65 do Capítulo 4, você foi solicitado a mostrar que, se Z é uma va normal-padrão, então Z 2 possui uma distribuição qui-quadrado com v = 1 . Sejam Z 1 ,   Z 2 ,   . . .   ,   Z n , as vas normais-padrão independentes de n . Qual é a distribuição de Z 1 ,   Z 2 ,   .   .   . ,   Z n ? Justifique sua resposta.

c. Seja X 1 ,   . . .   ,   X n   uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média μ e variância σ 2 . Qual é a distribuição da soma Y = ∑ i = 1 n ( X i - μ ) / σ 2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para realizarmos essa questão, vamos utilizar um resultado de um exemplo do livro e depois será apenas interpretações e manipulações. Então, bora láaa!!!

Passo 2

Usando o exemplo 5.22, a fda de Z = X 1 + X 2 é:

F Z z = ∫ 0 z ∫ 0 z - x 1 1 2 v 1 / 2 Γ v 1 / 2 1 2 v 2 / 2 Γ v 2 / 2 x 1 v 1 / 2 - 1 ∙ x 2 v 2 / 2 - 1 e - ( x 1 + x 2 ) / 2 d x 2 d x 1

A integral é bem complicada, mas pode ser demonstrado que a derivada a integral temos o seguinte:

f Z z = 1 ( v 1 + v 2 ) / 2 Γ ( ( v 1 + v 2 ) / 2 ) z ( v 1 + v 2 ) / 2 - 1 e - z / 2 ,             x ≥ 0 0                                                                                                                                                                                   x < 0

Sendo uma fdp de variável aleatória qui-quadrado com graus de liberdade v 1 + v 2 .

Passo 3

Usando a letra (a), a soma das duas variáveis aleatórias qui-quadrado é a variável aleatória qui-quadrado. Isso porque Z 2 tem uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade 1, logo, a soma terá uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade 2.

De forma similar, para três variáveis aleatórias:

Z 1 2 + Z 2 2 + Z 3 2 = Z 1 2 + Z 2 2 + Z 3 2

Tem uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade 3.

Logo, quando tivermos uma soma até Z n , teremos uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade n .

Passo 4

Aqui, a (b) pode ser usada porque as variáveis tem uma distribuição normal padrão.

I i = X i - μ σ

Portanto, a soma tem uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade n .

∑ i = 1 n U i 2

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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