Enunciado

A trava de segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com frequência, de modo a evitar a quebra do vidro devido ao fim da sua vida útil. Estudos anteriores admitem que essa vida útil pode ser representada por uma variável aleatória contínua, assumindo valores entre 0   e   1 ano. Sua densidade é a seguinte:

f x =   3 2 1 - x 2 ,     0 < x ≤ 1 ; 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Calcule a probabilidade da vida útil ser superior a seis meses.
  2. Determine a vida útil média.

Passo 1

Beleza, perceba que a nossa variável é exatamente o tempo de validade, mas dado em anos; Portanto para 6 meses, devemos tomar 0,5   a n o s .

Ou seja, na alternativa A buscamos a seguinte probabilidade:

P ( X > 0,5 )

Agora lembre-se de que, para uma variável contínua, relacionamos a probabilidade com a área de uma curva; então dizemos o seguinte:

P a ≤ x ≤ b = ∫ a b f x d x

Onde f ( x ) é a função densidade de probabilidade.

Passo 2

Portanto, na letra A teremos:

P X > 0,5 = ∫ 0,5 + ∞ f x d x

Podemos “separar” isso em intervalos:

P X > 0,5 = ∫ 0,5 1 f x d x + ∫ 1 + ∞ f x d x

Como a função densidade é zero para x < 0     o u   x > 1

Então nos resta:

P X > 0,5 = ∫ 0,5 1 3 2 1 - x 2 d x

É so integrar esse trem ai:

P x > 0,5 = 3 2 ∫ 0,5 1 d x - 3 2 ∫ 0,5 1 x 2 d x

P X > 0,5 = 3 2 1 - 0,5 - 3 2 1 3 - 0,5 3 3

Finalmente:

P X > 0,5 = 5 16 = 0,3125

Passo 3

(b) sabemos que a média é na verdade o valor esperado de uma variável, então:

E X = μ = ∫ - ∞ + ∞ x   f x d x

Quebrando isso em intervalos:

E X = ∫ - ∞ 0 x   f x d x + ∫ 0 1 x   f x d x + ∫ 1 + ∞ x   f x d x

E ficamos com:

E X = ∫ 0 1 x   3 2 1 - x 2 d x

Com muita calma, é só resolver issaê:

E X = 3 2 1 2 - 3 2 1 4 = 3 8 = 0,375

Resposta

Portanto:

(a) P X > 0,5 = 0,3125

(b) E X = μ = 0,375

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