Enunciado

Suponha que o tempo, em meses, para a recupereção de pacientes submetidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado por uma variável aleatória contínua X ,   cuja função densidade de probabilidade é dada por:

f x = 1 3 ,     0 ≤ x ≤ 1 ; - 1 12 x + 5 12 ,       1 < x ≤ 5 ; 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Determine a média e a mediana do tempo de recuperação.

Passo 1

Primeiro você deve se lembrar de que média é o valor esperado para a variável, então:

E X = μ = ∫ - ∞ + ∞ x   f x d x

Podemos “repartir” essa integral:

μ = ∫ - ∞ 0 x f x d x + ∫ 0 1 x f x d x + ∫ 1 5 x f x d x + ∫ 5 + ∞ x f x d x

Note que, quando o enunciado diz “caso contrario”, ele ta dizendo o seguinte:

f x = 0 ,   p a r a   x < 0   o u   x > 5

Portanto:

μ = 0 + ∫ 0 1 x   1 3   d x + ∫ 1 5 x   - 1 12 x + 5 12 d x + 0

Vamos resolver separadamente para não cafundir tudo:

∫ 0 1 x   1 3   d x = 1 3 x 2 2 1 0 = 1 3 1 2 = 1 6

Passo 2

E

∫ 1 5 x   - 1 12 x + 5 12 d x = ∫ 1 5 - 1 12 x 2 d x + ∫ 1 5 5 12 x   d x

- 1 12   x 3 3 5 1 + 5 12 x 2 2 5 1 = 1 12 1 3 - 5 3 3 + 5 12 25 2 - 1 2

Vamos só dar uma simplificada nessa joça:

∫ 1 5 x   - 1 2 x + 5 12 d x = - 31 9 + 5 = 14 9  

Substituindo:

μ = 1 6 + 14 9 ≅ 1,722   m e s e s

Agora para a mediana, precisamos encontrar um dado valor M , tal que:

P x ≥ M = 0,5   o u   P x ≤ M = 0,5

Então:

P X ≥ M = ∫ M + ∞ f x d x = 0,5

Novamente quebrando em intervalos:

P X ≥ M = ∫ M 5 - 1 12 x + 5 12 d x + ∫ 5 + ∞ f x d x

Ou seja,

P X ≥ M = ∫ M 5 - 1 12 x   d x + ∫ M 5 5 12 d x

E

P X ≥ M = - 1 12 5 2 - M 2 2 + 5 12 5 - M

Passo 3

Ou seja,

P X ≥ M = ∫ M 5 - 1 12 x   d x + ∫ M 5 5 12 d x

E

P X ≥ M = - 1 12 5 2 - M 2 2 + 5 12 5 - M

Chegamos na seguinte equação do segundo grau:

M 2 - 10 M + 13 = 0

Podemos então encontrar as raízes:

M 1 = 5 + 12 ≅ 8,46

E

M 2 = 5 - 12 ≅ 1,536

Como f x = 0 para x > 5 , M 1 deve ser descartada, ficamos então:

M = 1,536

É a mediana da estatística.

Resposta

  1. μ = 1,722   m e s e s         e           M = 1,536   m e s e s
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