Enunciado

De uma urna com n bolas numeradas de 1,2 , … , n , seleciona-se ao acaso e sem reposição todas as bolas, uma de cada vez, dizemos que ocorre um pareamento na j - é s i m a seleção ( 1 ≤ j ≤ n ) , se nessa seleção for selecionada a bola de número j . Determine a probabilidade de que (a) ocorra pela menos um pareamento; (b) não ocorra pareamento algum; (c) ocorram exatamente r = 0,1 , … , n .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas dada uma urna com n bolas numeradas de 1,2 , … , n , seleciona-se ao acaso e sem reposição todas as bolas, uma de cada vez, dizemos que ocorre um pareamento na j - é s i m a seleção ( 1 ≤ j ≤ n ) , se nessa seleção for selecionada a bola de número j . Determine a probabilidade de que (a) ocorra pela menos um pareamento; (b) não ocorra pareamento algum; (c) ocorram exatamente r = 0,1 , … , n .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para ocorrer pelo menos um pareamento temos que nos lembrar que,

n ! n - k ! k ! = n k !

Logo como a variação dada é definida por ( 1 ≤ j ≤ n ) temos,

r = 1,2 , 3 , … , n

Com r ≠ 1,2 , 3 , . . n vamos ficar com

r ≠ 1

Já na letra (b) para não ocorrer o pareamento temos que,

P A i j ∩ … ∩ A i n ) = ( n - k ) ! / n !

Com os valores de r podendo ser definido por números não pareados em sequência vamos ter que,

r = r 1 , r 2 , r 3 , … . , r n

Ficando,

r = 1

E por fim na letra ( c ) para rolar o pareamento em r = 0,1 , … , n determinado por,

r = E r 1 D = 1 , X - E r 0 D = 0 , X

Podendo definir a representação de j   p a r a   n como,

j ≤ n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) r ≠ 1

b) r = 1

c) j ≤ n

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