Enunciado

Variáveis aleatórias dependentes e independentes Duas variáveis aleatórias x e y são independentes quando o valor de x não afeta o valor de y. Quando as variáveis não são independentes, elas são dependentes. Uma nova variável aleatória pode ser formada ao se encontrar a soma ou diferença das variáveis aleatórias. Se uma variável aleatória x tem média μ x , e uma variável aleatória y tem média μ y , então as médias da soma e da diferença das variáveis serão dadas pelas seguintes fórmulas:

μ x + y = μ x + μ y                               μ x - y = μ x - μ y

Se as variáveis aleatórias são independentes, a variância e o desvio padrão da soma ou diferença das variáveis aleatórias podem ser encontrados. Portanto, se uma variável aleatória x tem variância σ x 2 e uma variável aleatória y tem variância σ y 2 , as variâncias da soma e da diferença das variáveis serão dadas pelas fórmulas a seguir. Note que a variância da diferença é a soma das variâncias.

σ x + y 2 = σ x 2 + σ y 2                                 σ x - y 2 = σ x 2 + σ y 2

Nos exercícios 41 e 42, a distribuição da pontuação do SAT para alunos pré-universitários tem média de 1.512 e um desvio padrão de 322. A distribuição da pontuação do SAT para alunas pré-universitárias tem uma média de 1.486 e um desvio padrão de 311. Um aluno e uma aluna são escolhidos aleatoriamente. Suponha que seus resultados sejam independentes. (Fonte: The College Board.)

41. Qual é a média da soma de suas pontuações? Qual é a média da diferença de suas pontuações?

Passo 1

Fala galerinha boa, tudo bem? Vamos para mais uma questão de distribuição de probabilidades. Dessa vez, sobre transformação linear de variável aleatória.

Sabemos que a distribuição da pontuação do SAT para alunos pré-universitários tem média de 1.512 e um desvio padrão de 322. Sendo X essa variável aleatória, temos:

μ x = 1512

E o desvio padrão de X é:

σ x = 322

Também temos que a distribuição da pontuação do SAT para alunas pré-universitárias tem média de 1. 486 e um desvio padrão de 311. Sendo Y essa variável aleatória, temos:

μ y = 1486

E o desvio padrão de Y é:

σ y = 311

Passo 2

Desse modo, a média da soma de suas pontuações vai ser:

μ x + y = μ x + μ y

μ x + y = 1512 + 1486

μ x + y = 2998

E a diferença de suas pontuações vai ser:

μ x - y = μ x - μ y

μ x - y = 1512 - 1486

μ x - y = 26

E é isso galerinha. Até a próxima!

Resposta

μ x + y = 2998 e μ x - y = 26

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