Enunciado

As variáveis X   e   Y seguem a distribuição Normal com mesma variância. Deseja-se testar se, também, têm a mesma média. Doze observações de cada variável foram escolhidas e os resultados foram os seguintes:

∑ i = 1 12 x i = 48 ,     ∑ i = 1 12 y i = 56 ,     ∑ i = 1   12 x i 2 = 4900 ,     ∑ i = 1 12 y i 2 = 5650 .

Qual é a conclusão ao nível de significância de 5%?

Passo 1

Seguimos, mais uma vez temos um teste para a média de duas populações só que dessa vez temos variâncias populacionais desconhecidas e IGUAIS.

Portanto teremos de usar a seguinte aproximação:

T = X - - Y - - μ x - μ y S c 2 1 n x + 1 n y ~ t n x + n y - 2

d i s t r i b u i ç ã o   t - s t u d e n t   c o m   n x + n y - 2 g r a u s   d e   l i b e r d a d e .

Calma! Que diaxo é aquele S c 2 ??

Então, ele nada mais é do que uma combinação das variâncias, veja só:

S c 2 = n x - 1 S x 2 + n y - 1 S y 2 n x + n y - 2

Tranquilo?!

Passo 2

Agora, precisamos usar os dados do enunciado para encontrar as médias e variâncias amostrais:

X - = ∑ i = 1 12 x i n x = 48 12 = 4

E

Y - = ∑ i = 1 12 y i n y = 56 12 ≅ 4,67

Agora as variâncias:

S x 2 = ∑ i = 1   12 x i 2 - n x X - 2 n x - 1 = 4900 - ( 12 ) ( 16 ) 11 ≅ 428

E

S y 2 = ∑ i = 1 12 y i 2 - n y Y - 2 n y - 1   ≅ 5650 - 12 21,81 11 ≅ 489,84

Ufa! Cansamo já! Mas carmeia que ainda falta um negocinho:

S c 2 = 11 ( 428 + 489,84 ) 22 ≅ 458,92

Agora sim! Falta pouco, vamos definir nossas hipóteses:

H 0 :   μ x - μ y = 0       c o n t r a         H 1 : μ x - μ y ≠ 0

E nossa região crítica será:

R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; n x + n y - 2     o u     t 0 > t α 2 ; n x + n y - 2  

Da tabela de t-student sabemos que quando nossa RC é bilateral:

P T < t = P T > t = α 2

Ou seja, precisamos buscar na tabela, um valor t tal que:

P T > t = 5 % 2 = 0,025

Mas, lembre-se sempre de que as colunas tabela nos fornecem valores de p ; e que quando nossa região crítica for BILATERAL:

p 2 = α 2 → p = α

Passo 3

No final das contas, precisamos ir na coluna de 5 % e buscar a intersecção com a linha de 12 + 12 - 2 = 22 graus de liberdade:

Encontramos então:

P T < - 2,074 = P T > 2,074 = 5 %

Portanto a nossa região crítica será dada por:

R C = t 0 < - 2,074       o u       t 0 > 2,074

Finalmente podemos realizar o teste sob H 0 :

t 0 = 4 - 4,67 - 0 458,92 2 12 ≅ - 0,077

Concluimos que t 0 = - 0,077 não pertence à nossa região crítica; portanto devemos ACEITAR H 0 .

Resposta

Então, existem evidências de que as médias das populações sejam iguais.

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