Enunciado

Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas

ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar esse parâmetro para

duas novas filiais, por meio de duas amostras de 50 clientes cada. As médias obtidas foram 62 e 71, respectivamente. Sabe-se que o desvio padrão, em ambos os casos, deve

ser da ordem de 20 unidades. É possível afirmar que o gasto médio nas duas filiais seja

o mesmo? Caso contrário, dê um intervalo de confiança para a diferença.

Passo 1

  Temos a variável X = g a s t o   d o s   c l i e n t e s   e m   c a d a   c o m p r a .

Considerando duas populações com distribuição normal, independentes e α = 5 % .

Temos:

N a = N b = 50   c l i e n t e s

X - h = 62   u n i d a d e s   e   X - m = 71   u n i d a d e s

S a 2 = S b 2 = 20 2   u n i d a d e s

Devemos realizar o teste de hipótese para a diferença das médias dos gastos dos clientes em cada compra, com variância populacional desconhecida e igual:

T = X - a - X - b - μ a - μ b S c 2 1 n a + 1 n b     ~ t n a + n b - 2

D i s t r i b u i ç ã o   t - s t u d e n t ,   c o m   N a + N b - 2   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde:

S c 2 = n a - 1 . S a 2 + n b - 1 . S b 2 n a + n b - 2 = 400

Passo 2

Teste de hipótese: H 0 :   μ a - μ b = 0       e     H 1 : μ a - μ b ≠ 0

Construindo a Região Crítica: R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 98   o u   t 0 > t α 2 ; 98

Onde: t 0,025 ; 98 = ±   1,99  

Lembrando que na tabela de t-student, quando temos um limite bilateral “ ≠ ” na hipótese alternativa, o p 2 = α 2 = 0,025 → p = 5 %

Logo, nossa região crítica assume a seguinte forma: R C = t 0 < - 1,99   o u   t 0 > 1,99

Passo 3

Realizando o teste sob H 0 :

t 0 = 62 - 71 - 0 400 . 1 25   = - 2,25

Portanto, t 0 = - 2,25 ∈ R C então devemos rejeitar H 0 e temos evidencias de que o gasto médio por compra de cada cliente é diferente nas duas filiais.

Resposta

Vamos construir um IC para essa diferença nas médias:

I C μ a - μ b ; 95 % =        

=   X - a - X - b - t 0,025 ; 98 . S c 2 1 n a + 1 n b ≤ μ a - μ b ≤ X - a - X - b + t 0,025 ; 98 . S c 2 1 n a + 1 n b =

= - 9 - 7,96   ;   - 9 + 7,96 =

= - 16,96   ;   - 1,04 .

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