Enunciado

Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme discreta

/ (*

x —1 , 2,..., ky

caso contrário.

Mostre que a função geradora de momentos de X é

'(!- e kt)

Mx(t) =

k{\ - e‘)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja X uma variável aleatória uniforme discreta e a distribuição seja

f ( x ; k ) = 1 k ,  for  x = 1,2 , 3 , … , k , 0 ,   restante . 

Passo 2

A função geradora de momento de uma variável aleatória X é

M X ( t )   = ∑ x     e α f ( x ; k )   = ∑ x = 1 k     e x 1 k   = 1 k ∑ x = 1 k     e k x

Considerar

∑ x = 1 k   e k x

Desde que ∑ x = 1 k   e t x é uma série geométrica finita

∑ x = 1 k   e t x = e t + e 2 t + … + e k t

Aqui observamos que

a = e t   r = e 2 t e t = e '   n = k

Portanto

∑ x = 1 1     e k x   = e t e k t - 1 e t - 1   ∵ ∑ x = 1 n     a r x = a r n - 1 r - 1   = e t 1 - e k t e t - 1 ∴ M X ( t )   = e t 1 - e k t k e t - 1

Resposta

Resposta nos passos.

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