Enunciado

A variável aletória Y tem densidade Poisson com parâmetro λ = 2 . Obtenha:

  1. P Y < 2 .
  2. P 2 ≤ Y < 4 .
  3. P Y > 0 .
  4. P Y = 1 Y < 3 .

Passo 1

Lembrando que a variável de Poisson obedece a função:

P X = k = e - λ λ k k ! ,

Sendo k = 0 , 1,2 , … , e no caso temos que Y ~ P o ( 2 ) .

Passo 2

  1. Aplicando a fórmula e os conceitos que já conhecemos de probabilidade:
  2. P Y < 2 = P Y = 0 + P Y = 1

    P Y < 2 = e - 2 . 2 0 0 ! + e - 2 . 2 1 1 ! = 0,135 + 0,271

    P Y < 2 = 0,406

    Passo 3

  3. P 2 ≤ Y < 4 = P Y = 2 + P Y = 3 =   e - 2 . 2 2 2 ! + e - 2 . 2 3 3 !

    P 2 ≤ Y < 4 = 0,271 + 0,180 = 0,451

    Passo 4

  4. Nesse caso vamos usar a mesma técnica que usamos no item d), da primeira questão dessa seção, vamos lembrar que não conseguimos fazer uma soma de infinitas parcelas, porque isso levaria um tempo infinito, então vamos driblar isso. Sabemos que :
  5. ∑ k = 0 ∞ e - λ λ k k ! = 1

    No caso temos:

    P Y > 0 = P Y = 1 + P Y = 2 + P Y = 3 + …

    Que pode ser reescrito:

    P Y > 0 = ∑ k = 1 ∞ e - 2 . 2 k k !  

    O termo que falta para a nossa série se tornar uma série completa é P Y = 0 =   e - 2 . 2 0 0 ! = 0,135 , vamos adicionar esse termo aos dois lados da nossa “equação”:

    P Y > 0 + e - 2 . 2 0 0 ! = e - 2 . 2 0 0 ! + ∑ k = 1 ∞ e - 2 . 2 k k !

    Reescrevendo:

    P Y > 0 + 0,135 =   ∑ k = 0 ∞ e - 2 . 2 k k !

    O lado direito vale 1, logo:

    P Y > 0 = 1 - 0,135 = 0,865

    Passo 5

  6. Vamos primeiro lembrar a fórmula de probabilidade condicional:

P B A = P A ∪ B P ( A )

Aplicando a fórmula:

P Y = 1 Y < 3 = P Y = 1 P Y = 0 + P Y = 1 + P ( Y = 2 )

P Y = 1 Y < 3 = 0,271 0,135 + 0,271 + 0,271 = 0,400

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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