Enunciado

A vida de um laser semicondutor, uma potência constante, é de distribuído normalmente com uma média de 700 horas e um desvio padrão de 600 horas.

  1. qual é a probabilidade de um laser falhar antes de 5800 horas?
  2. Qual é a vida, em horas, que 90% dos lasers excedem?
  3. Qual é qual deveria ser o valor da vida média de modo a 99% dos lasers excederem 10.000 horas antes da falha?
  4. Um produto contém três lasers e esse produto falha e qualquer um dos lasers falhar. Suponha que os lasers falhem independentemente. Qual deveria ser o valor da vida média, de modo a 99% dos produtos excederem 10.000 horas antes da falha?

Passo 1

Temos:

μ = 7000

σ = 600

Letra a:

O valor padronizado é o valor x diminuído pela média e então dividido pelo desvio padrão.

z = x - μ σ = 5800 - 7000 600 = - 2.00

Determine a probabilidade correspondente usando a tabela III:

P ( X < 5800 ) = P ( Z < - 2.00 ) = 0.022750

Passo 2

Letra b:

Se 90% dos lasers têm uma vida útil superior a z então 10% ou 0.10 dos lasers têm uma vida útil menor que z. Determine o valor de z correspondente a uma probabilidade de 0.10:

z = - 1.28

O valor correspondente é a média aumentada pelo produto do valor de z e do desvio padrão:

x = μ + z σ = 7000 - 1.28 ( 600 ) = 6232

Passo 3

Letra c:

x = 10000

Se 99% dos lasers têm uma vida útil superior a z então 1% ou 0.01 dos lasers têm uma vida útil menor que z. Determine o valor de z correspondente a uma probabilidade de 0.01:

z = - 2.33

O valor correspondente é a média aumentada pelo produto do valor de z e do desvio padrão:

x = μ + z σ n

Agora, usamos os valores que já sabemos:

10000 = μ - 2.33 ( 600 ) = μ - 1398

E encontramos μ :

μ = 1398 + 10000 = 11398

Passo 4

Letra d:

x = 10000

A probabilidade de nenhum dos três lasers falhar em pelo menos x deve ser de 99%.

Uma vez que os lasers são independentes, o produto de suas probabilidades separadas

tem que ser igual a 0.99:

P ( X ≥ x ) × P ( X ≥ x ) × P ( X ≥ x ) = 0.99

Reescrevendo a equação:

P ( X ≥ x ) 3 = 0.99

Tirando a raiz cúbica em cada lado, temos:

P ( X ≥ x ) = 0.99 3 = 0 ; 996655

Se 0.996655 dos lasers têm uma vida útil superior a z então 1-0.996655=0.003345 dos lasers têm uma vida útil menor que z .Determine o valor de z correspondendo a uma probabilidade de 0.003345:

z =   - 2.71

O valor correspondente é a média aumentada pelo produto do valor de z e o desvio padrão.

x = μ + z σ

Agora, usamos os valores que já sabemos:

10000 = μ - 2.71 ( 600 ) = μ - 1626

E encontramos μ :

μ = 1626 + 10000 = 11626

Resposta

  1. 0.022750
  2. 6232 horas
  3. 11398 horas
  4. 11626 horas
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