Enunciado

A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de uma certa marca é 1615   h o r a s . Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a 120   h o r a s . Utilizando α = 5 % , desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou diferente de 1600   h o r a s . Qual é a conclusão? Determine também a probabilidade de erro tipo I I , se a média fosse 1620   h o r a s .

Passo 1

Primeiro vamos definir de quem se trata a variável:

X = v i d a   ú t i l   d a s   l â m p a d a s   d e   u m a   c e r t a   m a r c a (   e m   h o r a s ) .

Supondo que tenhamos uma população com distribuição normal.

Do enunciado:

X - = 1615   h o r a s

σ 2 = 120 2 h o r a s 2

n = 100   l â m p a d a s

α = 5 %

Então só precisamos fazer um teste para a média; vamos utilizar a seguinte aproximação:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N ( 0,1 )

Vamos realizar o seguinte teste de hipótese tomando um nível de significância de 5 % :

H 0 : μ = 1600           c o n t r a             H 1 : μ ≠ 1600

Passo 2

Agora, vamos definir uma região crítica:

R C = z 0 ∈ R z < - z α 2   o u   z > z α 2 }  

Vamos buscar na tabela de distribuição normal um valor para P 0 ≤ Z ≤ z 0,025

Lembrando que o gráfico da normal é simétrico(implica cada metade como tendo 0,5), temos o seguinte:

P 0 ≤ Z < + ∞ ⏟ 0,5 - P 0 ≤ Z ≤ z 0,025 = 0,025 = P Z > z 0,025 = P Z < - z 0,025

Ou seja:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,025 = 0,475

Então encontramos o seguinte: P 0 ≤ Z ≤ z 0,025 = 0,475 → z 0,025 = 1,96

Portanto nossa RC assume a seguinte forma:

R C = z < - 1,96     o u     z > 1,96

Ou, usando a aproximação mostrada no Passo 1(isolando X - ) :

R C = X - < - 1,96 σ 2 n + μ     o u     X - > 1,96 σ 2 n + μ  

R C = X - < 1576,43     o u     X - > 1623,52  

Realizando o teste sob H 0 :

Z 0 = 1615 - 1600 120 2 100 = 1,25

Claramente z não pertence à região crítica, então não devemos rejeitar H 0 ; e concluímos que existem evidencias de que a vida média das lâmpadas é igual a 1600   h o r a s .

Passo 3

Agora, supondo μ = 1620   h o r a s , e lembrando que o erro tipo I I é a chance de aceitarmos H 0 , sendo essa uma hipótese falsa; em outras palavras:

P e r r o   I I = P 1576,43 < X - < 1623,52   H 0   é   f a l s a )  

Então:

P 1576,43 - 1620 12 < Z < 1623,52 - 1620 12 = P ( - 3,63 < Z < 0,29 )

Precisamos buscar na tabela:

P 0 < Z < 3,63 + P 0 < Z < 0,29 = P - 3,63 < Z < 0,29

Obtemos o seguinte:

0,49986 + 0,11409 = 0,61395

Portanto:

P E r r o   t i p o   I I μ = 1620 = 0,61395

Resposta

Concluímos então que existem evidências de que a duração média das lâmpadas seja igual à 1600   h o r a s .

E a chance de dizermos que a média é 1620   h o r a s (não rejeitar H 0 : μ = 1620 ), quando na verdade essa hipótese é falsa, é algo em torno de 61,40 % .

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