Enunciado

Um criador tem constatado uma proporção de 10 % do rebanho com verminose. O veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de intensidade. Um exame em 100   c a b e ç a s   do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 8 delas com verminose. Ao nível de 8 % , há indícios de que a proporção diminuiu??

Passo 1

Vamos lá, primeiro de tudo definir nossa variável:

p = p r o p o r ç ã o   d o   r e b a n h o   c o m   d o e n ç a .

Supondo que a população seja normalmente distribuída, podemos utilizar a seguinte aproximação:

Z = p ^ - p p 1 - p n   ~ N ( 0,1 )

Do enunciado vimos que p ^ = 8 100 = 0,08

Passo 2

Agora vamos definir nossa estratégia de teste:

H 0 : p ≥ 10 %         c o n t r a         H 1 : p < 10 %

Lembrando sempre que a hipótese nula é quem carrega o sinal de igual ( ≤ o u ≥ o u = ) .

Repare que se rejeitamos H 0 temos evidencias de que realmente houve uma diminuição na proporção de doentes; agora caso aceitamos a hipótese nula, temos motivos para acreditar que essa proporção se manteve pelo menos igual a constatação do criador.

Em ambos os casos vamos obter uma resposta coerente com a questão em jogo (repare que se invertermos os sinais, não vamos obter respostas dignas)

Se considerarmos um nível de 8 % , teremos a seguinte região crítica:

R C = z ∈ R   z < - z α }  

Como neste caso a hipótese alternativa carrega o sinal de menos, tomaremos uma RC unilateral inferior.

E então:

R C = z 0 < - z 0,08

Olhando na tabela de distribuição normal:

z 0,08 = 0,5 - P - z 0,08 ≤ Z ≤ 0 = 0,08

Portanto:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,08 = 0,42 = P ( - z 0,08 ≤ Z ≤ 0 )

Passo 3

Buscando esse valor na tabela:

Para P 0 ≤ Z ≤ z 0,08 = 0,42 → z 0,08 = 1,41

No final das contas, a RC fica assim:

R C = z < - 1,41

Realizando o teste sob a hipótese nula:

Z 0 = 0,08 - 0,10 0,10 0,90 100 = - 0,67  

Resposta

Portanto Z 0 não pertence à RC, devemos então aceitar H 0 e concluir que NÃO existem evidencias de que, a nova dieta passada pelo veterinário, realmente diminuiu a proporção da doença no rebanho.

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