Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

Teoria Completa

Cara, eu te contei lá no tópico de introdução o que era um teste de hipótese e pra que ele serve. Além disso, também disse que ia te ensinar mais pra frente como você ia resolver um, certo? Então, essa hora finalmente chegou!

Calma, prometo que se você curtir essa matéria, eu te pago um sorvete, beleza?

Vamos começar vendo como resolver um teste de hipóteses para média ( μ ) , com nosso querido desvio-padrão ( σ ) conhecido.

Vou te ensinar o passo a passo com um exemplo, que assim você já começa ficando craque no assunto! Vamo lá?!

“Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou x - = 0,87 . Sabendo que o desvio-padrão é σ = 0,010 , teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α = 0,05 .”

Passo) Cara, o primeiro passo vai sersemprecomeçar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo bem o enunciado, a gente percebe que esse engenheiro tá querendo testar a média das alturas dessa bancada, ou seja, nosso parâmetro é o μ .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   μ = 0,85 m H 1 :   μ ≠ 0,85 m

O enunciado fala que a altura deveria ser de 0,85 m , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e o enunciado não falou nada sobre o cara desconfiar que a altura é menor ou maior que isso, vamos considerar que a média é diferente de 0,85 m .

Estamos em um teste de hipótese bilateral!

Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Cara, essa estatística de teste é o que vamos usar pra tomar nossa decisão.

Como estamos em um caso de média com desvio-padrão conhecido, a gente pode considerar que estamos num caso de distribuição normal. Isso acontece lááá pelo nosso querido Teorema Central do Limite.

Então, lembra lá da nossa padronização da normal? Vamos usar ela aqui! A fórmula pra calcular a estatística de teste no caso de um teste de hipótese para média com σ conhecido vai ser:

Z t e s t e = X - - μ σ n

Vamos substituir com os valores do enunciado?

Z t e s t e = X - - μ σ n = 0,87 - 0,85 0,010 8 = 5,66

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo)Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica.

Só relembrando: a região crítica é a região onde rejeitamos H 0 .

Cara, nossa região crítica vai depender do tipo de teste que estamos.

Vamos ter 3 tipos:

Unilateral inferior

Bom, pra definir onde começa nossa região crítica, precisamos de um valor, certo?

Esse valor vai ser o nosso querido - z 1 - α ! Mas que isso?!

Esse valor, que chamaremos de ponto crítico, a gente vai encontrar lá na nossa tabela normal.

Nesse nosso exemplo, como temos α = 0,05 , teríamos o seguinte:

- z 1 - 0,05 = - z 0,95

É basicamente ir na tabela normal e ver qual valor de z nos dá a probabilidade 0,95 !

Logo, teríamos:

- z 1 - 0,05 = - z 0,95 = - 1,65

Unilateral Superior

Aqui nosso ponto crítico vai ser bem parecido com o de cima, só que com o sinal oposto!

Vamos ter que procurar o z 1 - α .

Bilateral

Jááá no caso bilateral, vamos ter dois pontos críticos! Mas calma, não é por isso que é mais difícil não!

Nossos pontos críticos vão ser os seguintes:

z 1 - α 2

- z 1 - α 2

Não esquece de dividir o α por dois, por favor! E o resto do procedimento é o mesmo dos anteriores.

Bom, voltando pro nosso exemplo...

Vamos descobrir nossos pontos críticos, já que estamos num caso bilateral:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,025 = z 0,975

z 0,975 = 1,96

- z 1 - α 2 = - z 0,975 = - 1,96

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? Lembrando que estamos num caso da distribuição normal, então podemos trabalhar com a nossa querida curvinha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso Z t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está dentro da região crítica. E a região crítica é onde rejeitamos H 0 !

5º Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de Z t e s t e caiu dentro da região crítica, rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) ! Ou seja, a média de altura das cadeiras é realmente diferente de 0,85 m .

Tranquilo até aqui?!

Resumo

Cara, vou escrever aqui pra você o passo a passo de como resolver um teste de hipótese, pra você ficar bem de boa com isso. Vem comigo!

1º) Identificar o parâmetro e formular as hipóteses, nula e alternativa;

2º)Determinar o valor da estatística de teste;

3º)Descobrir a região crítica;

4º)Ver se a estatística de teste está dentro ou fora da região crítica;

5º)De acordo com o passo anterior, aceitar ou rejeitar H 0 .

Não esquece disso não, hein!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 372.

A duração da carga das baterias recarregáveis de notebooks de uma certa marca pode ser encarada como uma variável aleatória com distribuição Normal de média 180 minutos e desvio padrão de 40 minutos. Existe uma falsificação do mesmo produto quase perfeita, mas nesse caso a duração da carga da bateria é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 150 minutos e o mesmo desvio padrão anterior. Um montador de notebooks recebe 25 baterias dessa marca. Entretanto, ele tem dúvidas quanto à precedência das baterias. Como ele poderia decidir se as baterias são originais ou falsificadas? Fixe α = 0,05 .

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Passo 1

Bom, pra gente ver o que ele poderia decidir a gente tem que saber qual será a região de aceitação e a região crítica da hipótese nula, achar o valor de corte. Pra isso, a gente segue aquela rotina lá até o passo que a gente acha essas paradas.

Primeiro definimos H 0 e H 1 .

H 0 :   μ = 180

H 1 :   μ = 150

Temos que α = 0,05 .

Passo 2

Qual é a nossa estatística de teste?

Z = x ¯ - 180 40 25

Concorda? Pois é um teste pra média populacional e a gente conhece o desvio padrão populacional.

A gente sabe que a região de rejeição para esse caso é: Z < z α .

z 0,05 = - z 0,95 = - 1,64

Passo 3

Pra gente achar o x ¯ de corte é só a gente fazer então:

P Z < x ¯ - 180 40 25 = - 1,64

Vamos achar o valor de corte.

x c ¯ - 180 40 25 = - 1,64

x ¯ c = 166,88

Passo 4

A região de rejeição é então x ¯ < 166,88 e a de aceitação é x ¯ ≥ 166,88 .

Com isso podemos dizer que ele deveria rejeitar H 0 se x ¯ < 166,88 , caso contrário, deveria aceitar H 0 .

Resposta

Exercício Resolvido #2

Teste de Hipótese

O Recursos Humanos de uma dada companhia afirma que o salário médio de uma dada região é de R $   1.200,00 . Para testar esta hipótese, retirou-se uma amostra de 100 trabalhadores desta região e obteve-se um salário médio de R $   1.156,00 e desvio padrão de R $   89,00 . Determinar se a hipótese é aceitável a um nível de significância de 5 % .

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Passo 1

Bom, pra gente ver o que ele poderia decidir a gente tem que saber qual será a região de aceitação e a região crítica da hipótese nula, achar o valor de corte. Pra isso, a gente segue aquela rotina lá até o passo que a gente acha essas paradas.

Primeiro definimos H 0 e H 1 .

H 0 :   μ = 1.200   ( f i r m a )

H 1 :   μ = 1.156

Temos que α = 0,05 .

Passo 2

Qual é a nossa estatística de teste?

Z = x ¯ - 1.200 89 100

Concorda? Pois é um teste pra média populacional e a gente conhece o desvio padrão populacional.

Passo 3

Como estamos no primeiro caso lá dos nossos três casos:

H 0 :   μ = μ 0       v e r s u s       H 1 :   μ ≠ μ 0

Temos região crítica:

Z < z α 2     o u     Z > z 1 - α 2

z < z 0,025   o u   z > z 0,975

Olhando na tabela...

z < - 1,96         o u       z > 1,96

Fazendo agora:

x ¯ - 1.200 89 100 = 1.156 - 1.200 89 100 = - 4,94

Então nosso valor está dentro da região crítica e sendo assim, a hipótese não é aceitável.

Resposta

A   h i p ó t e s e   n ã o   é   a c e i t á v e l

Exercício Resolvido #3

Teste de Hipóteses

Pretende-se realizar um teste de hipótese de H 0 :   μ ≥ 10 versus H 1 :   μ < 10 com n = 25 ,

σ x = 3 e α = 0,1 .

  1. Aponte a estatística de teste e o critério de decisão (ou seja, as regiões de rejeição e de aceitação) a serem usados.
  2. Diga, no contexto de teste de hipóteses, o que são: o erro   I e o erro   I I . Determine a   P erro de tipo II para μ = 8,5 .
  3. Que decisão deve ser tomada se x = 8,2 nesta amostra com 25 elementos.
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Passo 1

Levando em consideração que σ = 3 , n = 25 , α = 0,1 .

Determinamos as hipóteses:

H 0 :   μ = 10             H 1 :   μ < 10

Esse é só pra confundir nossa cabeça, pode usar o = que nem aprendemos lá na teoria que vai dar no mesmo!

Estariamos no terceiro caso, beleza? O teste unilateral inferior.

Nossa estatística de teste será:

Z t e s t e = x ¯ - μ σ n = x ¯ - 10 3 25

Z tem distribuição N o r m a l ( 0 ; 1 )