Enunciado

15a – Seja f1 = sen(θ) e f2 = cos(θ). Mostre, por simetria, usando o grupo C5, que a integral do produto das duas, sobre um intervalo simétrico em torno do θ = 0, é nula.

Passo 1

Para sabermos se a integral dada é nula, ou não, vamos seguir o procedimento apresentado no Atkins na seção 12.5.

Vamos precisar da tabela de caracteres para o grupo de simetria C5, e com essa tabela pegar os valores dos caracteres correspondentes as funções f1 e f2 definidas como no enunciado e calcular seu produto e depois verificarmos se é independente dos caracteres de A1.

Passo 2

A tabela de caracteres para o grupo C5, com os caracteres para f1 = sen(θ) e f2 = cos(θ) e para a espécie de simetria A1, encontrada na seção de dados do Atkins é a seguinte:

Fazendo o cálculo do produto entre f1 e f2:

Sendo o integrando o integrando I, o produto entre f1 e f2, assim:

I = f 1 f 2

Passo 3

Como critério para avaliar se a integral é nula ou não, tem-se que a integral vai ser nula se a linha obtida com a multiplicação entre as funções f1 e f2 poderá ser escrita como a soma dos caracteres de cada coluna sem conter os elementos de A1. Assim, analisando os valores obtidos para o produto entre f1 e f2, vemos que podemos escrever essa linha como sendo a linha da espécie de simetria f2 = cos(θ), sem precisar então de A1, logo a integral é necessariamente nula.

Resposta

A integral é zero, pois os caracteres do produto entre f1 e f2 é independente dos caracteres de A1.

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