Responde Aí

Enunciado

O orbital antiligante da Eq. 2 não está normalizado (veja o exercício 3.69). Encontre o fato que normaliza a 1, sabendo q os orbitais atômicos nela utilizados estão normalizados. Expresse sua resposta em termos da “integral de recobrimento” S = ∫ ψ A 1 ψ B 1 d τ . (A notação é a mesma usada no Exercício 3.57.) confirme que os orbitais ligante e antiligante são mutuamente ortogonais, isto é, que a integral do produto das duas funções de onda é zero.

Passo 1

O orbital antiligante é escrito como a seguinte combinação linear das funções de onda dos orbitais atômicos:

ψ a n t i = ψ A 1 - ψ B 1

E a integral de recobrimento dada no enunciado se escreve:

S = ∫ ψ A 1 ψ B 1 d τ

Fazemos então o produto da função de onda que descreve o orbital antiligante com o fator N de normalização, para depois podermos fazer o produto interno de ψ a n t i (produto dela por ela mesma) e então integrarmos em todo o espaço, esse resultado será um devido á normalização:

∫ N ψ a n t i 2 d τ = 1

Podemos então determinar o fator N.

Passo 2

Substituímos a função de onda e colocamos o fator N para fora da integral pois ele é uma constante:

N 2 ∫ ψ A 1 - ψ B 1 ψ A 1 - ψ B 1 d τ = 1

Resolvemos o produto:

N 2 ∫ ψ A 1 2 - 2 ψ A 1 ψ B 1 + ψ B 1 2 d τ = 1

E separamos cada um dos termos na soma, pela linearidade da integração (a soma das integrais é igual à integral da soma):

N 2 ∫ ψ A 1 2 d τ - ∫ 2 ψ A 1 ψ B 1 d τ + ∫ ψ B 1 2 d τ = 1

Passo 3

Como os orbitais atômicos que formam o orbital molecular são normalizados, então:

∫ ψ A 1 2 d τ = 1

E

∫ ψ B 1 2 d τ = 1

E a integral do meio é a integral de recobrimento S, nossa equação então se torna:

N 2 1 - 2 S + 1 = 1

O fator de normalização será:

N = 1 2 - 2 S

Passo 4

Como o exercício nos pede para mostrar que o orbital ligante é ortogonal ao antiligante, fazemos o produto entre eles e integramos em todo o espaço:

∫ ψ a n t i ψ l i g d τ

Substituindo cada função:

∫ ψ A 1 - ψ B 1 ψ A 1 + ψ B 1 d τ

Resolvendo o produto:

∫ ψ A 1 2 - ψ B 1 2 d τ

Pela linearidade da integração:

∫ ψ A 1 2 d τ - ∫ ψ B 1 2 d τ

Como os orbitais são normalizados:

1 - 1 = 0

Mostramos que os orbitais são ortogonais.

Resposta

N = 1 2 - 2 S

∫ ψ a n t i ψ l i g d τ = 0

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