Enunciado

18 – Mostre que, independente da superposição dos estados do oscilador harmônico que são usados para construir um pacote de onda, ele está localizado no mesmo lugar nos instantes 0, T, 2T, ..., onde T é o período clássico do oscilador.

Passo 1

Para este exercício, vamos precisar de resolver e analisar a função de onda da eq. de Schrödinger em função do tempo, isto é, a eq. de Schrödinger dependente com o tempo.

A função de onda dependente do tempo pode ser encontrada em tabelas de soluções da eq. de Schrödinger. Uma dessas tabelas é a tabela 8.1, onde a solução da Eq. de Schrödinger é:

H ψ x , t = i ħ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t

Passo 2

Se a função de onda ψ é uma autofunção do operador de energia H, com autovalor da energia E, então podemos escrever a função de onda dependente com o tempo da seguinte maneira:

ψ x , t = ψ x e - i E t ħ

Essa é uma solução para a função de onda da eq. de Schrödinger dependente do tempo, fornecida do operador de energia que não é dependente do tempo.

Precisamos verificar a relação mostrada antes na eq. de Schrödinger dependente do tempo.

H ψ x , t = i ħ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t

Pegando o termo do lado esquerdo:

H ψ x , t = H ψ x e - i E t ħ

H ψ x , t = E ψ x e - i E t ħ = E ψ x , t

Passo 3

Pegando o termo do lado direito:

i ħ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t = i ħ ∂ ∂ t ψ x e - i E t ħ

∂ ∂ t ψ x e - i E t ħ = ψ x ∂ ∂ t e - i E t ħ

∂ ∂ t e - i E t ħ = - i E ħ e - i E t ħ

Assim,

i ħ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t = i ħ ψ x - i E ħ e - i E t ħ

i ħ ∂ ψ x , t ∂ t = - i 2 E ψ x e - i E t ħ

Lembrando que:

i 2 = - 1

Assim,

i ħ ∂ ψ x , t ∂ t = E ψ x e - i E t ħ

i ħ ∂ ψ x , t ∂ t = E ψ x , t = H ψ x , t

H ψ x , t = i ħ ∂ ψ x , t ∂ t

Que é exatamente a expressão da eq. de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 4

O pacote de ondas é uma superposição arbitraria dos estados do oscilador harmônico envolvendo o tempo, que é dado por:

ψ x , t = ∑ v = 0 c v ψ v x e - i E v t ħ

Onde, ψv é a função de onda do oscilador harmônico independente do tempo. O termo Ev é a energia do oscilador para o nível de energia em v, dado pela eq. 9.25 do Atkins:

E v = v + 0,5 ħ ω

Consequentemente, o pacote de ondas será:

ψ x , t = ∑ v = 0 c v ψ v x e - i v + 0,5 ħ ω t ħ

Rearranjando,

ψ x , t = e - 0,5 i ω t ∑ v = 0 c v ψ v x e - i v ω t

Passo 5

A frequência angular ω é relacionada com o período T do oscilador da seguinte forma:

T = 2 π ω

Então, nós podemos avaliar o pacote de ondas em qualquer período com nº inteiro depois do tempo t, que será dado no tempo t + nT, onde n é um nº inteiro. Dessa forma,

t + n T = t + 2 π ω n

Então, o pacote de ondas para um período t + nT, pode ser escrito como:

ψ x , t + n T = e - 0,5 i ω ( t + n T ) ∑ v = 0 c v ψ v x e - i v ω ( t + n T )

ψ x , t + n T = e - 0,5 i ω t e - i π n ∑ v = 0 c v ψ v x e - i v ω t e - 2 π i v n

Passo 6

Na expressão anterior vamos ter que:

∑ v = 0 e - 2 π i v n

Este somatório, relembrando, tem a seguinte solução para números inteiros de v:

∑ v = 0 e - 2 π i v n = 1

Também, podemos escrever o termo e-iπn como:

e - i π n = - 1 n

Dessa forma,

ψ x , t + n T = - 1 n e - 0,5 i ω t ∑ v = 0 c v ψ v x e - i v ω t

Como

ψ x , t = e - 0,5 i ω t ∑ v = 0 c v ψ v x e - i v ω t

Logo,

ψ x , t + n T = - 1 n ψ x , t

Pela relação acima, para qualquer nº inteiro do período T, depois do tempo t, a função de onda é a mesma da função de onda para o tempo t, em termos de módulo. Assim, em qualquer momento, a função de onda elevado ao quadrado, (ψ)2, retorna o mesmo valor original do tempo t para cada período T, então o pacote de onda retorna a mesma distribuição espacial para cada período.

Resposta

ψ x , t + n T = - 1 n ψ x , t

Para qualquer nº inteiro do período T, depois do tempo t, a função de onda é a mesma da função de onda para o tempo t, em termos de módulo. Assim, em qualquer momento, a função de onda elevado ao quadrado, (ψ)2, retorna o mesmo valor original do tempo t para cada período T, então o pacote de onda retorna a mesma distribuição espacial para cada período.

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