Enunciado

21 – Um orbital hibrido sp2 que está no plano xy e faz um ângulo de 120° com o eixo dos x tem a forma

ψ = 1 3 0,5 s - I 2 0,5 p x + 3 0,5 2 0,5 p y

Use os orbitais atômicos hidrogenóides para ter a fórmula explicita do orbital hibrido. Mostre que a amplitude é máxima na direção mencionada.

Passo 1

Para este exercício, vamos utilizar a expressão dada no enunciado para a função de onda do orbital híbrido no plano xy. Vamos precisar de encontrar os termos s, px e py, em que estes são as funções de onda dos orbitais hidrogenóides, definidos por:

s = ψ 2 s

p x = ψ 2 p x

p y = ψ 2 p y

Passo 2

Para o orbital 2s temos que a função de onda é dada por:

ψ 2 s = R 20 Y 00

Pela tabela 10.1

R 20 = 1 2 1,5 Z a 0 1,5 2 - 0,5 ρ e - 0,25 ρ

Pela tabela 9.3

Y 00 = 1 4 π 0,5

Assim,

ψ 2 s = 1 2 1,5 Z a 0 1,5 2 - 0,5 ρ e - 0,25 ρ 1 4 π 0,5

ψ 2 s = 0,25 1 2 π 0,5 Z a 0 1,5 2 - 0,5 ρ e - 0,25 ρ

Passo 3

Para o orbital 2px, a função de onda deste orbital é:

ψ 2 p x = 1 2 0,5 R 21 ( Y 1,1 - Y 1 , - 1 )

Pela tabela 10.1

R 21 = Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ

Pela tabela 9.3

Y 1,1 = 3 8 π 0,5 s e n θ e i ϕ

Y 1 , - 1 = - 3 8 π 0,5 s e n θ e - i ϕ

Assim,

ψ 2 p x = 1 2 0,5 Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ 3 8 π 0,5 s e n θ e i ϕ + e - i ϕ

ψ 2 p x = 0,25 1 2 π 0,5 Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ s e n θ e i ϕ + e - i ϕ

Lembrando que:

e i ϕ = cos ⁡ ϕ + i s e n ϕ

e - i ϕ = cos ⁡ ϕ - i s e n ϕ

Assim,

e i ϕ + e - i ϕ = cos ⁡ ϕ

Logo,

ψ 2 p x = 0,25 1 2 π 0,5 Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ s e n θ cos ⁡ ϕ

Passo 4

Para o orbital 2py, a função de onda deste orbital é:

ψ 2 p y = 1 2 i R 21 ( Y 1,1 + Y 1 , - 1 )

Assim,

ψ 2 p y = 1 2 i Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ 3 8 π 0,5 s e n θ e i ϕ - e - i ϕ

ψ 2 p y = 0,25 i 1 2 π 0,5 Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ s e n θ e i ϕ - e - i ϕ

Lembrando que:

e i ϕ = cos ⁡ ϕ + i s e n ϕ

e - i ϕ = cos ⁡ ϕ - i s e n ϕ

Assim,

e i ϕ - e - i ϕ = isen ⁡ ϕ

Logo,

ψ 2 p y = 0,25 i 1 2 π 0,5 Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ s e n θ isen ⁡ ϕ

ψ 2 p y = 0,25 1 2 π 0,5 Z a 0 1,5 0,5 ρ e - 0,25 ρ s e n θ sen ⁡ ϕ

Passo 5

Com isso, a função de onda ψ, pela expressão dada no enunciado, será:

ψ = 1 3 0,5 s - I 2 0,5 p x + 3 0,5 2 0,5 p y

Onde,

s = ψ 2 s ; p x = ψ 2 p x ; p y = ψ 2 p y

Substituindo,

ψ = 1 3 0,5 0,25 1 π 0,5 Z a 0 1,5 1 2 0,5 2 - 0,5 ρ - 0,25 ρ s e n θ cos ⁡ ϕ + 0,25 ( 3 0,5 ) ρ s e n θ sen ⁡ ϕ e - 0,25 ρ

ψ = 0,25 1 6 π 0,5 Z a 0 1,5 2 - 0,5 ρ - 1 2 0,5 0,5 ρ s e n θ cos ⁡ ϕ + 0,5 3 2 0,5 ρ s e n θ sen ⁡ ϕ e - 0,25 ρ

Por fim,

ψ = 0,25 1 6 π 0,5 Z a 0 1,5 2 - 0,5 ρ 1 + cos ⁡ ϕ - 3 0,5 sen ⁡ ϕ 2 0,5 s e n θ e - 0,25 ρ

Passo 6

Analisando a expressão final que obtemos para a função de onda, ψ, você pode perceber que o máximo valor de ψ ocorre quando a função seno do ângulo θ, sen(θ), tem seu valor maximizado, em que lembrando da trigonometria, temos que para uma função seno, seu valor máximo é 1 e seu valor mínimo é -1. Assim, o valor máximo de ψ ocorre quando

s e n θ = 1

O ângulo para esse valor é

θ = s e n - 1 1 = 90 °

Além desse valor, o valor máximo de ψ ocorre quando o ângulo φ = 120°, pois

cos ⁡ 120 - 3 0,5 sen ⁡ 120 2 0,5 = - 0,5 - 3 0,5 3 0,5 2 2 0,5 = - 1 + 3 2 2 0,5 = - 2 0,5

Resposta

ψ = 0,25 1 6 π 0,5 Z a 0 1,5 2 - 0,5 ρ 1 + cos ⁡ ϕ - 3 0,5 sen ⁡ ϕ 2 0,5 s e n θ e - 0,25 ρ

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