Enunciado

29 – Uma estrela muito pequena a fria demais para brilhar foi descoberta S. Kulkarni et al. O espectro do corpo sideral exibe indícios da presença de metano que, de acordo com os autores mencionados, não estaria em temperatura muito mais elevada do que 1000 K. A massa da estrela, determinada pelo seu efeito gravitacional sobre uma estrela que a acompanha, é, aproximadamente, 20 vezes a massa de Júpiter. Com essa massa, é muito pouco provável que o corpo seja um planeta. O mais provável é que seja uma estrela anã, castanha, a mais fria que já se observou.

A) Com base em dados termodinâmicos, verifique a estabilidade do metano em temperaturas mais elevadas do que 1000 K.

B) Qual o λmáx dessa estrela?

C) Qual é a densidade de energia da estrela em relação à do Sol (6000 K)?

D) Determine se a estrela terá brilho ou não, estime a fração da densidade de energia da estrela na região visível do espectro.

Passo 1

A)

Para verificarmos a estabilidade do metano em temperaturas mais elevadas do que 1000 K, vamos determinar a variação da energia de Gibbs da reação de decomposição do metano, ΔrG, e determinar a temperatura na qual a variação de energia de Gibbs é nula. Para uma temperatura acima desta temperatura que anula a variação de energia de Gibbs, o metano será instável nessas condições, e abaixo dessa temperatura, o metano será estável. Assim, vamos verificar se a temperatura que anula a variação de energia de Gibbs é maior ou menor do que 1000 K.

Passo 2

Vamos escrever a reação de decomposição do metano que é a seguinte:

C H 4 g → C g r a f i t e + 2 H 2 g

Nas condições padrões, isto é, na temperatura de 25°C:

∆ r G 0 = 50,72   k J   m o l - 1

∆ r H 0 = 74,81   k J   m o l - 1

∆ r c p 0 = 0,030865   k J   K - 1 m o l - 1

Usando estes dados nas condições padrão, vamos determinar a temperatura para qual ΔrG = 0.

Pela eq. 3.52 do Atkins, em condições de pressão constante:

∂ ∂ T ∆ r G T = - ∆ r H T 2           E q 1

Onde, pela eq. 2.36 do Atkins, a variação de entalpia, para uma temperatura T, pode estimada por:

∆ r H T = ∆ r H 0 298 K + ∫ 298 K T ∆ r c p 0 d T

Sendo Δrcp constante, assim

∆ r H T = ∆ r H 0 298 K + ∆ r c p 0 T - 298       E q 2

Passo 3

Pegando a eq. 1:

∂ ∂ T ∆ r G T = - ∆ r H T 2

Separando variáveis:

d ∆ r G T = - ∆ r H T 2 d T

Integrando em ambos os lados:

∫ 298 T d ∆ r G T = - ∫ 298 T ∆ r H T 2 d T

Substituindo a variação de entalpia pela eq.2:

∫ 298 T d ∆ r G T = - ∫ 298 T ∆ r H 0 + ∆ r c p 0 T - 298   T 2 d T

Passo 4

Resolvendo as integrais:

∫ 298 K T d ∆ r G T = ∆ r G T - ∆ r G 0 298 K

∫ 298 T ∆ r H 0 + ∆ r c p 0 T - 298   T 2 d T = ∆ r H 0 - ∆ r c p 0 298 K ∫ 298 T 1 T 2 d T + ∆ r c p 0 ∫ 298 T 1 T d T

∫ 298 T ∆ r H 0 + ∆ r c p 0 T - 298   T 2 d T = ∆ r H 0 - ∆ r c p 0 298 K 1 T - 1 298 K - ∆ r c p 0 ln ⁡ T 298

Assim,

∆ r G T - ∆ r G 0 298 K = ∆ r H 0 - ∆ r c p 0 298 K 1 T - 1 298 K - ∆ r c p 0 ln ⁡ T 298

∆ r G T = ∆ r G 0 298 K + ∆ r H 0 - ∆ r c p 0 298 K 1 T - 1 298 K - ∆ r c p 0 ln ⁡ T 298

Como ΔrG = 0, assim

∆ r G 0 298 K + ∆ r H 0 - ∆ r c p 0 298 K 1 T - 1 298 K - ∆ r c p 0 ln ⁡ T 298 = 0

Substituindo os valores:

0,1701 + 65,16 1 T - 1 298 K - 0,030865 ln ⁡ T 298 = 0

Você pode perceber que chegamos em uma eq. totalmente não linear para resolvermos e encontrarmos o valor de T. assim, o que você pode fazer é resolver por algum método iterativo, ou, de forma mais prática, utilizar algum software matemático, tal como o Wolfram Alpha, Mathcad ou Matlab. Usando o Wolfram Alpha para resolver a eq. chega-se que:

T = 817,5   K

Consequentemente, par temperaturas acima desse valor, o metano é estável, logo acima de 1000 K, o metano é instável.

Passo 5

B)

O comprimento de onda máximo, λmáx, pode ser estimado usando a expressão calculada no problema 8.10, cuja expressão é:

λ m á x = 0,2 1,44   c m   K T

Para a temperatura de 1000 K:

λ m á x = 0,2 1,44   c m   K 1000   K = 2,88 x 10 - 4   c m

Convertendo para unidade de nanômetro:

λ m á x = 2,88 x 10 - 4   c m 10 9 n m 100   c m = 2880   n m

Passo 6

C)

A densidade de energia em relação ao Sol, pode ser estimada com a razão das densidades de energia para a estrela e para o Sol:

R a z ã o   D e n s i d a d e   d e   E n e r g i a = ρ e s t r e l a ρ S o l

Onde, a densidade de energia é dada pela eq. 8.5 do Atkins:

ρ = 8 π h c λ 5 1 e h c λ k T - 1

Onde,

-h é a cte de Planck

h = 6,626 x 10 - 34 J   s

-c é a velocidade da luz no vácuo

c = 3,0 x 10 8 m   s - 1

-k é a cte de Botzmann

k = 1,381 x 10 - 23 J   K - 1

Assim,

R a z ã o   ρ = 8 π h c λ 5 1 e h c λ k T e s t r e l a - 1 8 π h c λ 5 1 e h c λ k T S o l - 1

Simplificando:

R a z ã o   ρ = e h c λ k T S o l - 1 e h c λ k T e s t r e l a - 1

Sendo

λ = λ m á x = 2880 n m = 2880 x 10 - 9 m

Assim,

h c λ k = ( 6,626 x 10 - 34 J   s ) ( 3,0 x 10 8 m   s - 1 ) ( 2880 x 10 - 9 m ) ( 1,381 x 10 - 23 J   K - 1 ) = 4998   K

Logo,

R a z ã o   ρ = e 4998 / 6000 - 1 e 4998 / 1000 - 1

R a z ã o   ρ = 8,8 x 10 - 3

ρ e s t r e l a = 0,0088 ρ S o l

Passo 7

D)

Pela figura 8.2, o comprimento de onda do espectro visível é entre 700 nm e 420 nm.

Vamos agora encontrar a fração da densidade de energia na região visível do espectro.

Pelas eq’s 8.3 e 8.5:

f r a ç ã o   d e   ρ   v i s i v e l = c 4 σ T 4 ∫ 700 n m 420 n m ρ λ d λ

Onde, σ é a cte de Stefan-Boltzmann

σ = 5,67 x 10 - 8 W m - 2 K - 4

Fazendo uma aproximação de que a densidade de energia ρ seja constante, assim

∫ 700 n m 420 n m ρ λ d λ = ρ λ 700 n m - 420 n m

Para um comprimento de onda de 560nm:

ρ 560 n m = 8 π h c λ 5 1 e h c λ k T - 1 = 1,75 x 10 - 10   J   m - 3

Assim,

f r a ç ã o   d e   ρ   v i s i v e l = 3,0 x 10 8 m   s - 1 4 ( 5,67 x 10 - 8 W m - 2 K - 4 ) ( 1000 K ) 4 1,75 x 10 - 10   J   m - 3 700 n m - 420 n m

f r a ç ã o   d e   ρ   v i s i v e l = 2,31 x 10 - 7

Uma quantidade muito pequena da radiação da estrela está no espectro visível, assim praticamente não emite brilho visível.

Resposta

A)

Metano é instável acima de T = 1000 K.

B)

λ m á x = 2880   n m

C)

ρ e s t r e l a = 0,0088 ρ S o l

D)

f r a ç ã o   d e   ρ   v i s i v e l = 2,31 x 10 - 7

Não emite brilho no espectro visível.

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