Enunciado

20 – Estime a componente z do momento angular e a energia cinética de uma partícula num anel quando a função de onda (não-normalizada) é

A) e i ϕ

B) e - 2 i ϕ

C) c o s ⁡ ( ϕ )

D) e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ )

Passo 1

Em cada caso, se a função é uma autofunção do operador e o autovalor é também o valor esperado, podemos utilizar a seguinte relação matemática para calcular o momento angular, J, para essas funções

J z f = ħ i d f d ϕ

Onde, f é a função de onda neste caso

f = ψ

Se caso a função não é uma autofunção, então teremos que usar a expressão abaixo para calcular o componente z do momento angular, Jz:

J z = ∫ ψ * J ψ d ϕ

Onde, ψ* é função de onda não-normalizada e Iψ é definido por:

J ψ = ħ i d ψ d ϕ

Passo 2

Vamos agora ver como calcular a energia cinética da partícula para cada função de onda.

Vamos relembrar que a energia cinética de uma partícula pode ser expressa como:

E K = J z 2 2 I

Esta equação acima é a energia cinética de uma partícula em função do momento angular do componente z, Jz, e do momento de inércia, I.

Sendo

J z = ħ i d d ϕ

Assim,

J z 2 = ħ 2 i 2 d 2 d ϕ 2

Onde, i é o número imaginário que é definido como

i 2 = - 1

Assim,

J z 2 = - ħ 2 d 2 d ϕ 2

Substituindo na expressão da energia cinética:

E K = - ħ 2 2 I d 2 d ϕ 2

Para uma função de onda ψ:

E K ψ = - ħ 2 2 I d 2 ψ d ϕ 2

Passo 3

A)

Para

ψ = e i ϕ

Uma função do tipo exponencial é sempre uma autofunção do operador. Então, eiφ é uma autofunção, logo

J z ψ = ħ i d ψ d ϕ

J z e i ϕ = ħ i d d ϕ e i ϕ

d d ϕ e i ϕ = i e i ϕ

Assim,

J z e i ϕ = ħ e i ϕ

Portanto,

J z = ħ

Passo 4

Calculando a energia cinética:

E K ψ = - ħ 2 2 I d 2 ψ d ϕ 2

d 2 ψ d ϕ 2 = d 2 d ϕ 2 e i ϕ

d 2 d ϕ 2 e i ϕ = d d ϕ d d ϕ e i ϕ

Como já calculamos

d d ϕ e i ϕ = i e i ϕ

Assim,

d d ϕ d d ϕ e i ϕ = d d ϕ i e i Φ = i 2 e i ϕ

Sendo

i 2 = - 1

Então,

d 2 d ϕ 2 e i ϕ = - e i ϕ

Substituindo,

E K e i ϕ = - ħ 2 2 I - e i ϕ

E K e i ϕ = ħ 2 2 I e i ϕ

Logo,

E K = ħ 2 2 I

Passo 5

B)

Para

ψ = e - 2 i ϕ

Essa função de onda também é uma autofunção, logo

J z ψ = ħ i d ψ d ϕ

J z e - 2 i ϕ = ħ i d d ϕ e - 2 i ϕ

d d ϕ e - 2 i Φ = - 2 i e - 2 i ϕ

Assim,

J z e - 2 i ϕ = - 2 ħ e - 2 i ϕ

Portanto,

J z = - 2 ħ

Passo 6

Calculando a energia cinética:

E K e - 2 i ϕ = - ħ 2 2 I d 2 d ϕ 2 e - 2 i ϕ

d 2 d ϕ 2 e - 2 i ϕ = d d ϕ d d ϕ e - 2 i ϕ

Como já calculamos

d d ϕ e - 2 i Φ = - 2 i e - 2 i ϕ

Assim,

d d ϕ d d ϕ e - 2 i Φ = d d ϕ - 2 i e - 2 i Φ = 4 i 2 e - 2 i ϕ

Sendo

i 2 = - 1

Então,

d 2 d ϕ 2 e - 2 i ϕ = - 4 e - 2 i ϕ

Substituindo,

E K e - 2 i ϕ = - ħ 2 2 I - 4 e - 2 i ϕ

E K e - 2 i ϕ = 4 ħ 2 2 I e - 2 i ϕ = 2 ħ 2 I e - 2 i ϕ

Logo,

E K = 2 ħ 2 I

Passo 7

C)

Para

ψ = c o s ⁡ ( ϕ )

Essa função de onda não se enquadra como uma autofunção, e dessa forma:

J z = ∫ ψ * J ψ d ϕ

Onde,

ψ * = cos ⁡ ϕ

J ψ = ħ i d d ϕ cos ⁡ ϕ

d d ϕ cos ⁡ ϕ = - s e n ( ϕ )

Assim, substituindo na integral:

J z = - ħ i ∫ cos ⁡ ϕ s e n ( ϕ ) d ϕ

Definindo o intervalo, na qual o ângulo φ varia de 0 até 2π para uma rotação completa de uma partícula em um anel, assim

J z = - ħ i ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n ( ϕ ) d ϕ

Passo 8

Resolvendo a integral

∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n ( ϕ ) d ϕ

Resolvendo por substituição simples, fazendo

u = s e n ϕ

d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

Assim,

∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n ( ϕ ) d ϕ = ∫ 0 2 π u d u

∫ 0 2 π u d u = u 2 2

Assim,

∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n ( ϕ ) d ϕ = 1 2 s e n 2 ϕ 2 π 0 = 1 2 s e n 2 2 π - 1 2 s e n 2 0 = 1 2 0 - 1 2 0

∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n ( ϕ ) d ϕ = 0

Com isso,

J z = - ħ i ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n ϕ d ϕ = 0

J z = 0

Passo 9

Agora a energia cinética:

E K cos ⁡ ϕ = - ħ 2 2 I d 2 d ϕ 2 cos ⁡ ϕ

d 2 d ϕ 2 cos ⁡ ϕ = d d ϕ d d ϕ cos ⁡ ϕ

Onde,

d d ϕ cos ⁡ ϕ = - sen ⁡ ϕ

Assim,

d d ϕ d d ϕ cos ⁡ ϕ = d d ϕ - sen ⁡ ϕ = - cos ⁡ ϕ

Então,

d 2 d ϕ 2 cos ⁡ ϕ = - cos ⁡ ϕ

Substituindo,

E K cos ⁡ ϕ = - ħ 2 2 I - cos ⁡ ϕ

E K cos ⁡ ϕ = ħ 2 2 I cos ⁡ ϕ = ħ 2 2 I cos ⁡ ϕ

Logo,

E K = ħ 2 2 I

Passo 10

D)

Para

ψ = e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ

Essa função de onda, também não é uma autofunção, e dessa forma:

J z = ∫ ψ * J ψ d ϕ

Onde,

ψ * = e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ )

J ψ = ħ i d d ϕ e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ )

d d ϕ e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ ) = i e i ϕ cos ⁡ χ - e - i ϕ s e n χ

Assim, substituindo na integral:

J z = ħ ∫ e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ e i ϕ cos ⁡ χ - e - i ϕ s e n χ d ϕ

J z = ħ ∫ co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ + cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ

Definindo o intervalo, na qual o ângulo φ varia de 0 até 2π para uma rotação completa de uma partícula em um anel, assim

J z = ħ ∫ 0 2 π co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ + cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ

Passo 11

Resolvendo a integral

∫ 0 2 π co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ + cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ

Essa integral pode ser escrita como:

∫ 0 2 π co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ d ϕ + ∫ 0 2 π cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ

∫ 0 2 π co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ d ϕ = co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ ϕ 2 π 0 = co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ 2 π

∫ 0 2 π cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ = cos ⁡ χ s e n χ 2 i e 2 i ϕ + 2 i e - 2 i ϕ 2 π 0

2 i e 2 i ϕ + 2 i e - 2 i ϕ 2 π 0 = 2 i e 2 i 2 π + 2 i e - 2 i 0 - 2 i e 2 i 2 π - 2 i e - 2 i 0 = 0

∫ 0 2 π cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ = 0

Assim,

∫ 0 2 π co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ + cos ⁡ χ s e n χ e 2 i ϕ - e - 2 i ϕ d ϕ = co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ 2 π

Com isso,

J z = ħ co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ 2 π

Lembrando de identidade trigonométrica

co s 2 ⁡ χ - s e n 2 χ = cos ⁡ 2 χ

Assim,

J z = 2 π ħ cos ⁡ 2 χ

Passo 12

Agora a energia cinética:

E K e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ = - ħ 2 2 I d 2 d ϕ 2 e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ

d 2 d ϕ 2 e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ ) = d d ϕ d d ϕ e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ )

Onde,

d d ϕ e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ ) = i e i ϕ cos ⁡ χ - i e - i ϕ s e n ( χ )

Assim,

d d ϕ d d ϕ e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ ) = d d ϕ i e i ϕ cos ⁡ χ - i e - i ϕ s e n ( χ )

d d ϕ i e i ϕ cos ⁡ χ - i e - i ϕ s e n ( χ ) = i 2 e i ϕ cos ⁡ χ + i 2 e - i ϕ s e n ( χ )

Sendo

i 2 = - 1

Assim,

d 2 d ϕ 2 e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ = - e i ϕ cos ⁡ χ - e - i ϕ s e n ( χ )

Substituindo,

E K e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ = - ħ 2 2 I - e i ϕ cos ⁡ χ - e - i ϕ s e n ( χ )

E K e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n χ = ħ 2 2 I e i ϕ cos ⁡ χ + e - i ϕ s e n ( χ )

Logo,

E K = ħ 2 2 I

Resposta

A)

J z = ħ

E K = ħ 2 2 I

B)

J z = - 2 ħ

E K = 2 ħ 2 I

C)

J z = 0

E K = ħ 2 2 I

D)

J z = 2 π ħ cos ⁡ 2 χ

E K = ħ 2 2 I

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