Enunciado

Determine os comprimentos das ligações H C e C N no H C N a partir das constantes de rotação B H 1 C 12 N 1 4 = 44,316   G H z e B H 2 C 12 N 14 = 36,208   G H z .

Passo 1

Fala galera!

Bora resolver essa questão juntos!

Começamos o nosso problema expondo que a determinação de duas incógnitas requer dados de dois experimentos independentes e a equação que relaciona duas incógnitas aos dados experimentais. 

Constantes de rotação, geralmente são expressas em números de onda ( c m - 1 ) , mas as vezes são expressas em unidades de frequência H z , como no nosso caso. A conversão entre esses dois é:

B H z = c ⋅ B c m - 1

H 1 C 12 N 14 = 44,316   G H z = 4 , 4316 × 10 10   s 1  

B H 2 C 12 N 14 = 36 , 208   G H z = 3 , 6208 × 10 10   s 1

Assim:

B H z = h 4 π I

Como na nossa questão queremos obter I :

I = h 4 π B

Sendo:

h = 1,05457 × 10 - 34   J s

E

H 1 = H ,   H 2 = D ,   R H C = R D C = R ,   R C N = R '

Então:

I H C N = 1,05457 × 10 - 34 4 π ⋅ 4,4316 × 10 10 = 1,8937 × 10 - 46   k g ⋅ m 2

E

I D C N = 1,05457 × 10 - 34 4 π ⋅ 3,6208 × 10 10 = 2,3178 × 10 - 46   k g ⋅ m 2  

Passo 2

Também podemos escrever I da seguinte forma:

I H C N = m H R 2 + m N R ' 2 - m H R - m N R ' 2 m H + m C + m N  

Substituindo alguns termos:

I H C N = 1,0078 R 2 + 14,0031 R ' 2 - 1,0078 R - 14,0031 R ' 2 1,0078 + 12,000 + 14,0031 u

Multiplicando por:

m u = m H + m C + m N u = 27,0109   u u = 27,0109

Assim:

27,0109 ⋅ I H C N = 27,0109 ⋅ 1,0078 R 2 + 14,0031 R ' 2 - 1,0078 R - 14,0031 R ' 2   u

Ou

27,0109 1,66054 × 10 - 27   k g ⋅ 1,8937 × 10 - 46   k g ⋅ m 2 = 27,0109 ⋅ 1,0078 R 2 + 14,0031 R ' 2 - 1,0078 R - 14,0031 R ' 2

Então:

3,0804 × 10 - 18 = 27,0109 ⋅ 1,0078 R 2 + 14,0031 R ' 2 - 1,0078 R - 14,0031 R ' 2

De maneira semelhante, faremos para o D C N :

2 8 , 01 72 1,66054 × 10 - 27   k g ⋅ 2,3178 × 10 - 46   k g ⋅ m 2 = 28,0172 ⋅ 2,0141 R 2 + 14,0031 R ' 2 - 2,0141 R - 14,0031 R ' 2

Então:

3,9107 × 10 - 18 = 28,0172 ⋅ 2,0141 R 2 + 14,0031 R ' 2 - 2,0141 R - 14,0031 R ' 2

Passo 3

Assim, resolvendo as duas equações quadráticas simultaneamente (a) e (b) para obtermos R R ' :

R = 1,065 × 10 - 10   m = 106,5   p m

R = 1,156 × 10 - 10   m = 115,6   p m

Desse modo, os comprimentos das ligações se dão por:

a)

H C = 1,064 × 10 - 10   m

b)

C N = 1,156 × 10 - 10   m

Até a próxima questão!

Resposta

a )   H C = 1,064 × 10 - 10   m

b )   C N = 1,156 × 10 - 10   m

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