Enunciado

Determine quais, entre as seguintes funções, são autofunções do operador inversão i ^ (operador que transforma x → - x ): (a) x 3 - k x ; (b) cos ⁡ k x ; (c) x 2 + 3 x - 1 .

Quando for apropriado, determine o correspondente autovalor de i ^ .

Passo 1

Cheeegaaa juuntooo!! Boora de mais uma questãozinha da série: “O estudante moderno não tem um minuto de paz!”

É isso mesmo hahaaha

Apesar de tudo, essa questão não tem muito segredo.... bora destrinchar ela então:

Ela nos pede para verificar se as funções dadas são ou não autofunções do operador inversão, ou seja, vamos em todos os casos, substituir x por - x e ver o que acontece com a função obtida...

Se a função obtida for múltipla da função original, ou seja, se:

f f ^ = C

A função f será uma autofunção do operador, e o múltiplo C será o autovalor desse mesmo operador.

Confuso?? Vamo tentar pra ver se você capita a ideia!!

Passo 2

Na letra (a), temos: f = x 3 - k x

Aplicando o operador:

i ^ x 3 - k x = f ^

E substituindo x por - x :

f ^ = - x 3 + k x

Ou seja:

f f ^ = x 3 - k x - x 3 + k x = - 1

Portanto, sim! A função f = x 3 - k x é uma autofunção do operador inversão. E o Autovalor será - 1 .

Agora ficou mais claro né?? Bora seguir então:

Na letra (b) f = cos ⁡ k x

Teremos:

f ^ = cos ⁡ - k x

Mas, lembre-se que a função cosseno é uma função par... o que significa que:

cos ⁡ - x = cos ⁡ x

O que significa que:

f ^ = cos ⁡ - k x = cos ⁡ k x = f

Portanto, sim novamente! A função f é uma auto função do operador com um auto valor igual a 1 .

Doidera né??

Passo 3

Falta a última, bem tranquila:

(c) f = x 2 + 3 x - 1

Teremos:

f ^ = - x 2 - 3 x - 1 = x 2 - 3 x - 1

Repare que essa função não possui nenhum múltiplo com a função original:

f f ^ = x 2 + 3 x - 1 x 2 - 3 x - 1 ≠ C

Então essa f não é uma autofunção do operador inversão... e portanto não existe um autovalor.

Tranquilo né??

Risca mais uma aí e bora pra próxima!!

Até lá!!

Resposta

Portanto:

  1. É   a u t o f u n ç ã o ; a u t o v a l o r = - 1 ;
  2. É   a u t o f u n ç ã o ; a u t o v a l o r = 1 ;
  3. N ã o   é   a u t o f u n ç ã o ;
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