Enunciado

Obtenha a eq. 13.34 para a constante de distorção centrifuga D, de uma molécula diatômica de massa efetiva m, trate a ligação como uma mola elástica com constante de força k e comprimento de equilíbrio r, a qual, quando é submetida a uma distorção centrifuga, passa a ter um novo comprimento r dedução imaginando que as partículas estão sujeitas a uma força restauradora de magnitude k (r,-r) perfeitamente equilibrada por uma força centrifuga ar, onde w é a velocidade angular da molécula em rotação. Considere então os efeitos quânticos exprimindo o momento angular por [ J J + 1 ] 1 2 * Ћ . Por fim, obtenha uma expressão para a energia da molécula em rotação, compare-a com a equação 13.33 e escreva uma expressão para Dj.

Passo 1

Eaii, galera! Vamos para mais uma questão?

A partir do equilíbrio entre a força centrífuga e a força de restauração, devemos lembrar que:

r c = r e 1 - μ ω 2 / k   , de forma que o comprimento da ligação distorcida como uma função do comprimento da ligação de equilíbrio.

Classicamente, então, a energia seria a energia rotacional somada a energia da ligação esticada, certo? Então, teríamos:

E = J 2 2 l + k r c - r e 2 2 = J 2 2 l + k ² r c - r e 2 2 k = J 2 2 l + μ ω ² r c 2 2 k

Passo 2

Mas aí, se observarmos, nos vem na mente: como a energia é diferente da energia do rotor rígido? Isso ocorre pois, além da energia de alongamento da ligação, o maior momento de inércia altera o pico estritamente rotacional da energia.

Se substituirmos μ r c ² por l, e re por rc, então teremos:

E = J ² 1 - μ ω 2 / k 2 2 μ r e ² + μ 2 ω 4 r e ²   2 k ( 1 - μ ω 2 / k ) ²

Agora, supondo que μ ω ² / k seja pequeno (uma suposição razoável para a maioria das moléculas), podemos expandir a expressão e descartar quadrados ou potências superiores de μ ω ² / k , tendo:

E ≈ J ² 1 - 2 μ ω 2 / k 2 2 μ r e ² + μ 2 ω 4 r e ²   2 k

Observe, aqui, que todo o segundo termo tem um fator de μ ω ² / k , mesmo antes de elevar ao quadrado e expandir o denominador, portanto, descartamos todos os termos dessa expansão após o primeiro, ok?

Passo 3

Vamos, agora, começar a entender a expressão usando a clássica expressão para o momento angular:

J = l ω = π r 2 ω ,   l o g o ,   ω = J μ r e 2

Isso nos permite substituir expressões envolvendo J para todos os ω :

E ≈ J 2 μ r e 2 - J 4 μ 2 r e 6 k + J 4 2 μ 2 r e 6 k

Ao mesmo tempo, expandimos o primeiro termo, parte de que podemos, agora, combinar com o último termo e, continuando a substituição de I / μ por r², e então carregando a expressão para seu equivalente mecânico quântico substituindo J ( J + 1 ) Ћ ² por J²:

E ≈ J 2 2 l - J 4 μ 2 l 3 k ,   l o g o ,   E ≈ J J + 1 Ћ 2 2 l - J ² J + 1 ²   Ћ 4 μ 2 l ³ k

Passo 4

Agora vamos dividir por hc e, assim, encontraremos o termo de rotação F(J):

F J = J J + 1 Ћ 2 2 h c l - J ² J + 1 2 Ћ 4 μ 2 h c l 3 k = J J + 1 4 π c l - J ² J + 1 2   Ћ 3 μ 4 π c l ³ k

Em que usamos Ћ = Ћ 2 para eliminar um divisor comum de h. Agora usando a definição da constante rotacional,

B = Ћ 4 π c l ,   l o g o ,   F J = J J + 1 B - J 2 J + 1 3 B 3 16 π 2 c 2 μ k      

Finalmente, usamos a relação entre a constante de força e o número de onda vibracional:

k μ 1 2 = ω v i b = 2 π v = 2 π c v ~ ,   e n t ã o , μ k = 1 4 π ² c ² v ~ ²

Assim, teremos:

F J ≈ B J J + 1 - 4 B 3 v ~ J 2 J + 1 2 = B J J + 1 - D J 2 J + 1 ,   e m   q u e   D = 4 B 3 v ~ 2

Resposta

F J ≈ B J J + 1 - 4 B 3 v ~ J 2 J + 1 2 = B J J + 1 - D J 2 J + 1 ,   e m   q u e   D = 4 B 3 v ~ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Coloque as seguintes moléculas na ordem crescente de comprimento da ligação .Será que alguma dessas moléculas é diamagnética? Explique seu raciocínio.
Diga que ligação absorve luz de igual ou menor comprimento de onda e explique sua escolha: C-H ou C-Cl. Consulte a Técnica Principal 1, que segue estes exercícios.
Os óxidos de nitrogênio são poluentes comuns, gerados por motores a combustão interna e por usinas de eletricidade. Eles não somente contribuem para os problemas respiratórios provocados pelo ar poluí
O ozônio da estratosfera nos protege da radiação perigosa ao absorver radiação ultravioleta do Sol. Compare as distâncias de ligação nas moléculas de ozônio e oxigênio. (a) Existem uma ou duas distânc
Isômeros estruturais são moléculas que têm a mesma fórmula, mas nas quais os átomos estão ligados em ordem diferente. Dois isômeros do difluoreto de dienxofre S2F2 são conhecidos. Em ambos, os dois át