Exercícios Resolvidos de Síntese de controladores

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Enunciado

Para a malha de controle abaixo, obtenha as fórmulas de sintonização para um PID real utilizando o método de síntese direta. Considere:

G P = K τ 1 s + 1 τ 2 s + 1

A resposta do sistema desejada é a resposta de primeira ordem sem tempo morto.

Passo 1

A função de transferência para o sistema do enunciado é:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Onde τ c é a constante de tempo da resposta:

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

A função de transferência do processo, G P , dada no enunciado foi a seguinte:

G P = K τ 1 s + 1 τ 2 s + 1

Substituindo na fórmula do controlador, teremos:

G C = τ 1 s + 1 τ 2 s + 1 K τ c s

Rearranjando um pouco:

G C = τ 1 K τ c 1 + 1 τ 1 s 1 + τ 2 s

Podemos comparar essa fórmula com a fórmula de um PID em série:

G C = K ' C 1 + 1 τ ' i s 1 + τ ' d s

O controlador PID em série, diferentemente do PID convencional, apresenta os blocos proporcional, integral e derivativo em série, fazendo com que essas parecelas se multipliquem na função de transferência ao invés de se somar.

Passo 3

Por fim, precisamos apenas comparar as duas expressões e encontrar as fórmulas para os parâmetros do controlador.

Como o controladore encontrado é um PID, precisamos definir os três parâmetros desse controlador, K C , τ i e τ d . Por comparação, podemos encontrar as correalações:

K ' C = τ 1 K τ c

τ ' i = τ 1

τ ' d = τ 2

Resposta

K ' C = τ 1 K τ c

τ ' i = τ 1

τ ' d = τ 2