Teoria Completa
Introdução
Já vimos até aqui alguns métodos para sintonizar controladores. Esses métodos geralmente usavam alguma característica do nosso processo/planta para chegar até uma função de transferência para um controlador que fosse a melhor possível. Cada método tinha a sua própria forma de encontrar essa função de transferência, e nem sempre o que era o “melhor” para um método era também para o outro.
Continuando um pouco nessa loucura de sintonizar controladores, vamos aprender agora um outro método que tem uma abordagem um pouco diferente dos demais que vimos até agora, a síntese de controladores. A síntese de controladores tenta fazer o caminho inverso para conseguir encontrar a função de transferência do controlador. Mas como assim?
Bom, o que vai acontecer é que a gente vai especificar o tipo de resposta que a gente quer, e então a partir dessa reposta e da função de transferência da nossa planta, faremos o caminho inverso para encontrar a função de transferência do controlador.
Vamos então parar de falar e botar a mão na massa.
Fórmula da síntese
Para aplicar a síntese de controladores, precisamos encontrar uma fórmula para ela. Para isso, vamos olhar para o diagrama de blocos simplificado abaixo:
A função de transferência desse sistema será:
Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para a função de transferência do controlador a partir da função de transferência em malha fechada:
Reorganizando:
Então, saindo da expressão da função de transferência em malha fechada, encontramos uma fórmula para o controlador que depende da função de transferência da planta, , e também da resposta do sistema, .
Especificação da resposta
Lá em cima eu disse, que a gente ia conseguir calcular o nosso controlador fixando uma resposta, e é isso que faremos a partir de agora.
O tipo de resposta mais fácil de ser atingido e também o mais comum é a resposta em primeira ordem sem tempo morto.
Por ser a mais usada, vamos trabalhar aqui apenas com esse tipo de resposta. Entretanto, o procedimento para outras respostas é basicamente o mesmo que faremos daqui para frente, porém com cálculos mais complicados.
Vamos substituir a resposta que queremos na nossa expressão do controlador:
Manipulando um pouco esse capetinha:
Essa é a fórmula que iremos usar para encontrar os parâmetros do controlador. Repare que a única coisa que precisamos, o único parâmetro de sintonização, é a constante de tempo da resposta. Tendo esse valor e a função de transferência da nossa planta, conseguiremos encontrar facilmente a função de transferência do controlador
Encontrando a função de transferência do controlador
Para encontrar a função de transferência do controlador, precisaremos analisar a função de transferência da planta do nosso sistema, já que como vimos acima, uma coisa está diretamente relacionada a outra.
Por exemplo, vamos considerar que a nossa planta/processo tem uma função de transferência de primeira ordem, assim como a resposta que especificamos:
Substituindo na expressão do controlador:
Se manipularmos um pouco essa expressão, teremos:
Olha só! Essa expressão é muito parecida com a do controlador PI:
Portanto, por comparação, conseguimos encontrar os parâmetros do controlador:
Só lembrando para não confundir, é a constante do tempo da resposta de primeira ordem sem tempo morto desejada, , é a constante de tempo da função de transferência da nossa planta, , e é a constante de tempo integral do controlador PI.
Uma outra coisa importante de ter em mente é que quando utilizamos a síntese de controladores, não somos nós que determinamos o tipo de controlador que usaremos, e sim a função de transferência da planta do sistema, . No exemplo anterior vimos que quando essa função de transferência era de primeira ordem e sem atraso, a função de transferência do controlador naturalmente convergiu a uma forma equiparável ao do controlador PI.
Sendo assim, para saber qual será o controlador usado, devemos substituir o e ver o “formado” da expressão que encontraremos.
Nos exercícios veremos outros exemplos de que não sejam funções de transferência de primeira ordem e veremos quais controladores serão usados para cada tipo de .
Exercício Resolvido #1
Encontre as fórmulas de sintonização para um controlador usando o método de síntese direta para um processo de resposta instantânea:
A resposta do sistema desejada é a resposta de primeira ordem sem tempo morto.
Passo 1
A função de transferência para o sistema do enunciado é:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Onde é a constante de tempo da resposta:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
Como o nosso processo é de reposta imediata (ordem 0), ele não apresenta nenhuma constante de tempo, e sua função de transferência é apena um ganho:
Substituindo na fórmula do controlador, teremos:
Essa fórmula se assemelha à fórmula de um controlador puramente integral:
Os controladores puramente integrais são indicados para processos extremamente rápidos, que é o nosso caso aqui, já que o processo do nosso exercício é de resposta imediata.
Passo 3
Por fim, precisamos apenas comparar as duas expressões e encontrar as fórmulas para os parâmetros do controlador.
Como o controlador que encontramos é puramente integral, teremos apenas um parâmetro para sintonizar, .
Pela comparação, podemos definir que:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Sintonize um controlador PI para o processo abaixo:
Utilize a resposta de primeira ordem sem tempo morto e um valor de
Passo 1
A função de transferência para a malha fechada é dada por:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:
Manipulando a expressão acima para ficar parecida com um controlador PI:
A expressão genérica do controlador PI é:
Por comparação, podemos inferir que:
Substituindo :
Portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Para a malha de controle abaixo, obtenha as fórmulas de sintonização para um PID real utilizando o método de síntese direta. Considere:
A resposta do sistema desejada é a resposta de primeira ordem sem tempo morto.
Passo 1
A função de transferência para o sistema do enunciado é:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Onde é a constante de tempo da resposta:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
A função de transferência do processo, dada no enunciado foi a seguinte:
Substituindo na fórmula do controlador, teremos:
Rearranjando um pouco:
Podemos comparar essa fórmula com a fórmula de um PID em série:
O controlador PID em série, diferentemente do PID convencional, apresenta os blocos proporcional, integral e derivativo em série, fazendo com que essas parecelas se multipliquem na função de transferência ao invés de se somar.
Passo 3
Por fim, precisamos apenas comparar as duas expressões e encontrar as fórmulas para os parâmetros do controlador.
Como o controladore encontrado é um PID, precisamos definir os três parâmetros desse controlador, , e . Por comparação, podemos encontrar as correalações:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere que um sistema representado pela seguinte função de transferência função de transferência
Representa o processo dinâmico do processo + válvula + transmissor. Projete um controlador que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:
onde é a constante de tempo em malha fechada. Compare o comportamento (em termos de velocidade) do controlador para e .
Passo 1
A função de transferência para a malha fechada é dada por:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:
Manipulando a expressão acima para ficar parecida com um controlador PI:
A expressão genérica do controlador PI é:
Por comparação, podemos inferir que:
Passo 3
Através dessa conclusão, podemos ver que o parâmetro afeta apenas o valor do ganho do controlador.
Para :
Para :
Isso mostra que um valor grande de ganho, , produz um constante de tempo da resposta menor, fazendo com que a resposta fique mais rápida.
Resposta
Para (mais rápido):
Para :
Exercício Resolvido #5
Projete um controlador para o seguinte sistema de segunda ordem (teórico):
Use o método de síntese direta que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:
onde é a constante de tempo em malha fechada. Compare o comportamento do controlador para e .
Passo 1
A função de transferência para a malha fechada é dada por:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:
Vamos rearranjar a expressão encontrada:
Uma dica: quando tiver um processo de segunda ordem, a constante de tempo que a gente coloca em evidência é sempre a maior entre as duas, nesse caso, o .
Essa expressão pode ser comparada à expressão do PID em série que é dada abaixo:
Por comparação, podemos definir:
Passo 3
Através da comparação, podemos ver que o parâmetro afeta apenas o valor do ganho do controlador.
Para :
Para :
Logo, quanto maior o valor do ganho, menor será a constante de tempo da resposta e consequentemente mais rápido será a resposta do sistema.
Resposta
Para (mais rápido):
Para :
Exercício Resolvido #6
Um processo tem a seguinte função de transferência em malha aberta:
Use o método de síntese direta que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:
E configure um PID com valor de e .
Passo 1
A função de transferência para a malha fechada é dada por:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:
Vamos rearranjar a expressão encontrada:
Essa expressão pode ser comparada à expressão do PID em série que é dada abaixo:
Por comparação, podemos definir:
Passo 3
Substituindo os valores dado pelo enunciado, chegaremos à seguinte expressão:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Sintetize um controlador PID paralelo a partir de um modelo do processo de segunda ordem,
sendo que a resposta desejada é de primeira ordem em malha fechada:
Passo 1
A função de transferência para a malha fechada é dada por:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Fazendo a substituição, teremos:
Rearranjando:
Passo 2
Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:
Precisamos deixar a expressão acima parecida com a de um PID em paralelo:
Colocando em evidência:
Mudando a ordem dos termos entra parênteses:
Passo 3
Agora, já podemos comparar a expressão para o controlador que encontramos com a expressão geral do PID em paralelo:
Portanto, as fórmulas de sintonização serão as seguintes:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Configure um controlador PI que dê uma resposta de primeira ordem em malha fechada para
a seguinte função de transferência em malha aberta:
A resposta desejada é a de primeira ordem com tempo morto.
Passo 1
A função de transferência para a malha fechada é dada por:
Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara teremos::
Como desejamos uma resposta de primeira ordem com tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:
Fazendo a substituição, teremos: