Síntese de controladores

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Teoria

Introdução

Já vimos até aqui alguns métodos para sintonizar controladores. Esses métodos geralmente usavam alguma característica do nosso processo/planta para chegar até uma função de transferência para um controlador que fosse a melhor possível. Cada método tinha a sua própria forma de encontrar essa função de transferência, e nem sempre o que era o “melhor” para um método era também para o outro.

Continuando um pouco nessa loucura de sintonizar controladores, vamos aprender agora um outro método que tem uma abordagem um pouco diferente dos demais que vimos até agora, a síntese de controladores. A síntese de controladores tenta fazer o caminho inverso para conseguir encontrar a função de transferência do controlador. Mas como assim?

Bom, o que vai acontecer é que a gente vai especificar o tipo de resposta que a gente quer, e então a partir dessa reposta e da função de transferência da nossa planta, faremos o caminho inverso para encontrar a função de transferência do controlador.

Vamos então parar de falar e botar a mão na massa.

Fórmula da síntese

Para aplicar a síntese de controladores, precisamos encontrar uma fórmula para ela. Para isso, vamos olhar para o diagrama de blocos simplificado abaixo:

A função de transferência desse sistema será:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para a função de transferência do controlador a partir da função de transferência em malha fechada:

C s R s + C s R s G C G P = G C G P

C s R s G C G P - G C G P = - C s R s

C s R s G P - G P G C = - C s R s

G C = - C s R s C s R s G P - G P

Reorganizando:

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Então, saindo da expressão da função de transferência em malha fechada, encontramos uma fórmula para o controlador que depende da função de transferência da planta, G P , e também da resposta do sistema, C s R s .

Especificação da resposta

Lá em cima eu disse, que a gente ia conseguir calcular o nosso controlador fixando uma resposta, e é isso que faremos a partir de agora.

O tipo de resposta mais fácil de ser atingido e também o mais comum é a resposta em primeira ordem sem tempo morto.

C s R s = 1 τ c s + 1

Por ser a mais usada, vamos trabalhar aqui apenas com esse tipo de resposta. Entretanto, o procedimento para outras respostas é basicamente o mesmo que faremos daqui para frente, porém com cálculos mais complicados.

Vamos substituir a resposta que queremos na nossa expressão do controlador:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Manipulando um pouco esse capetinha:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 τ c s τ c s + 1

G c = 1 G P τ c s

Essa é a fórmula que iremos usar para encontrar os parâmetros do controlador. Repare que a única coisa que precisamos, o único parâmetro de sintonização, é a constante de tempo da resposta. Tendo esse valor e a função de transferência da nossa planta, conseguiremos encontrar facilmente a função de transferência do controlador

Encontrando a função de transferência do controlador

Para encontrar a função de transferência do controlador, precisaremos analisar a função de transferência da planta do nosso sistema, já que como vimos acima, uma coisa está diretamente relacionada a outra.

Por exemplo, vamos considerar que a nossa planta/processo tem uma função de transferência de primeira ordem, assim como a resposta que especificamos:

G P = K τ s + 1

Substituindo na expressão do controlador:

G C = τ s + 1 K τ c s

Se manipularmos um pouco essa expressão, teremos:

G C = 1 K τ c τ + 1 s

G C = τ K τ c 1 + 1 τ s

Olha só! Essa expressão é muito parecida com a do controlador PI:

G C = K C 1 + 1 τ i s

Portanto, por comparação, conseguimos encontrar os parâmetros do controlador:

K C = τ K τ c

τ i = τ

Só lembrando para não confundir, τ c é a constante do tempo da resposta de primeira ordem sem tempo morto desejada, C s R s , τ é a constante de tempo da função de transferência da nossa planta, G P , e τ i é a constante de tempo integral do controlador PI.

Uma outra coisa importante de ter em mente é que quando utilizamos a síntese de controladores, não somos nós que determinamos o tipo de controlador que usaremos, e sim a função de transferência da planta do sistema, G P . No exemplo anterior vimos que quando essa função de transferência era de primeira ordem e sem atraso, a função de transferência do controlador naturalmente convergiu a uma forma equiparável ao do controlador PI.

Sendo assim, para saber qual será o controlador usado, devemos substituir o G P e ver o “formado” da expressão que encontraremos.

Nos exercícios veremos outros exemplos de G P que não sejam funções de transferência de primeira ordem e veremos quais controladores serão usados para cada tipo de G P .

Especificação da resposta

Encontrando a função de transferência do controlador

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre as fórmulas de sintonização para um controlador usando o método de síntese direta para um processo de resposta instantânea:

G P = K

A resposta do sistema desejada é a resposta de primeira ordem sem tempo morto.

Passo 1

A função de transferência para o sistema do enunciado é:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Onde τ c é a constante de tempo da resposta:

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Como o nosso processo é de reposta imediata (ordem 0), ele não apresenta nenhuma constante de tempo, e sua função de transferência é apena um ganho:

G P = K

Substituindo na fórmula do controlador, teremos:

G C = 1 K τ c s

Essa fórmula se assemelha à fórmula de um controlador puramente integral:

G C = K C s

Os controladores puramente integrais são indicados para processos extremamente rápidos, que é o nosso caso aqui, já que o processo do nosso exercício é de resposta imediata.

Passo 3

Por fim, precisamos apenas comparar as duas expressões e encontrar as fórmulas para os parâmetros do controlador.

Como o controlador que encontramos é puramente integral, teremos apenas um parâmetro para sintonizar, K C .

Pela comparação, podemos definir que:

K C = 1 K τ c

Resposta

K C = 1 K τ c

Exercício Resolvido #2

Sintonize um controlador PI para o processo abaixo:

G P s = 2 5 s + 1

Utilize a resposta de primeira ordem sem tempo morto e um valor de τ c = 2,5

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P ( s ) = 2 5 s + 1

G C = 5 s + 1 2 τ c s

Manipulando a expressão acima para ficar parecida com um controlador PI:

G C = 5 2 τ c 1 + 1 5 s

A expressão genérica do controlador PI é:

G C = K C 1 + 1 τ i s

Por comparação, podemos inferir que:

K C = 5 2 τ c

Substituindo τ c = 2,5 :

K C = 1

τ i = 5

Portanto:

G C s = 1 + 1 5 s

Resposta

G C s = 1 + 1 5 s

Exercício Resolvido #3

Para a malha de controle abaixo, obtenha as fórmulas de sintonização para um PID real utilizando o método de síntese direta. Considere:

G P = K τ 1 s + 1 τ 2 s + 1

A resposta do sistema desejada é a resposta de primeira ordem sem tempo morto.

Passo 1

A função de transferência para o sistema do enunciado é:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Onde τ c é a constante de tempo da resposta:

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

A função de transferência do processo, G P , dada no enunciado foi a seguinte:

G P = K τ 1 s + 1 τ 2 s + 1

Substituindo na fórmula do controlador, teremos:

G C = τ 1 s + 1 τ 2 s + 1 K τ c s

Rearranjando um pouco:

G C = τ 1 K τ c 1 + 1 τ 1 s 1 + τ 2 s

Podemos comparar essa fórmula com a fórmula de um PID em série:

G C = K ' C 1 + 1 τ ' i s 1 + τ ' d s

O controlador PID em série, diferentemente do PID convencional, apresenta os blocos proporcional, integral e derivativo em série, fazendo com que essas parecelas se multipliquem na função de transferência ao invés de se somar.

Passo 3

Por fim, precisamos apenas comparar as duas expressões e encontrar as fórmulas para os parâmetros do controlador.

Como o controladore encontrado é um PID, precisamos definir os três parâmetros desse controlador, K C , τ i e τ d . Por comparação, podemos encontrar as correalações:

K ' C = τ 1 K τ c

τ ' i = τ 1

τ ' d = τ 2

Resposta

K ' C = τ 1 K τ c

τ ' i = τ 1

τ ' d = τ 2

Exercício Resolvido #4

Considere que um sistema representado pela seguinte função de transferência função de transferência

G P ( s ) = 0,66 6,7 s + 1

Representa o processo dinâmico do processo + válvula + transmissor. Projete um controlador que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:

C s R s = 1 τ c s + 1

onde τ c é a constante de tempo em malha fechada. Compare o comportamento (em termos de velocidade) do controlador para τ c = 1 e τ c = 5 .

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P ( s ) = 0,66 6,7 s + 1

G C = 6,7 s + 1 0,66 τ c s

Manipulando a expressão acima para ficar parecida com um controlador PI:

G C = 6,7 0,66 τ c 1 + 1 6,7 s

A expressão genérica do controlador PI é:

G C = K C 1 + 1 τ i s

Por comparação, podemos inferir que:

K C = 6,7 0,66 τ c

τ i = 6,7

Passo 3

Através dessa conclusão, podemos ver que o parâmetro τ c afeta apenas o valor do ganho do controlador.

Para τ C = 1 :

K C = 6,7 0,66 = 10,15

Para τ C = 5 :

K C = 6,7 3,3 = 2,03

Isso mostra que um valor grande de ganho, K C , produz um constante de tempo da resposta menor, fazendo com que a resposta fique mais rápida.

Resposta

K C = 6,7 0,66 τ c

τ i = 6,7

Para τ C = 1 (mais rápido):

K C = 6,7 0,66 = 10,15

Para τ C = 5 :

K C = 6,7 3,3 = 2,03

Exercício Resolvido #5

Projete um controlador para o seguinte sistema de segunda ordem (teórico):

G P s = 1 2 s + 1 5 s + 1

Use o método de síntese direta que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:

C s R s = 1 τ c s + 1

onde τ c é a constante de tempo em malha fechada. Compare o comportamento do controlador para τ c = 1 e τ c = 5 .

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P ( s ) = 1 2 s + 1 5 s + 1

G C ( s ) = ( 2 s + 1 ) ( 5 s + 1 ) τ c s

Vamos rearranjar a expressão encontrada:

G C = 5 τ c 1 + 1 5 s 1 + 2 s

Uma dica: quando tiver um processo de segunda ordem, a constante de tempo que a gente coloca em evidência é sempre a maior entre as duas, nesse caso, o 5 .

Essa expressão pode ser comparada à expressão do PID em série que é dada abaixo:

G C s = K ' C 1 + 1 τ ' i s 1 + τ ' d s  

Por comparação, podemos definir:

K ' C = 5 τ c

τ ' i = 5

τ ' d = 2

Passo 3

Através da comparação, podemos ver que o parâmetro τ c afeta apenas o valor do ganho do controlador.

Para τ C = 1 :

K ' C = 5 1 = 5

Para τ C = 5 :

K ' C = 5 5 = 1

Logo, quanto maior o valor do ganho, menor será a constante de tempo da resposta e consequentemente mais rápido será a resposta do sistema.

Resposta

K ' C = 5 τ c

τ ' i = 5

τ ' d = 2

Para τ C = 1 (mais rápido):

K ' C = 5

Para τ C = 5 :

K ' C = 1

Exercício Resolvido #6

Um processo tem a seguinte função de transferência em malha aberta:

G P s = K 10 s + 1 5 s + 1

Use o método de síntese direta que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:

C s R s = 1 τ c s + 1

E configure um PID com valor de K = 1 e τ c = 5 .

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P ( s ) = K 10 s + 1 5 s + 1

G C ( s ) = ( 10 s + 1 ) ( 5 s + 1 ) K τ c s

Vamos rearranjar a expressão encontrada:

G C ( s ) = 10 K τ c 1 + 1 10 s 1 + 5 s

Essa expressão pode ser comparada à expressão do PID em série que é dada abaixo:

G C s = K ' C 1 + 1 τ ' i s 1 + τ ' d s  

Por comparação, podemos definir:

K ' C = 10 K τ c

τ ' i = 10

τ ' d = 5

Passo 3

Substituindo os valores dado pelo enunciado, chegaremos à seguinte expressão:

K C ' = 10 5 = 2

Logo:

G C ( s ) = 2 1 + 1 10 s 1 + 5 s

Resposta

G C ( s ) = 2 1 + 1 10 s 1 + 5 s

Exercício Resolvido #7

Sintetize um controlador PID paralelo a partir de um modelo do processo de segunda ordem,

sendo que a resposta desejada é de primeira ordem em malha fechada:

G P s = K τ 2 + 2 τ ζ s + 1

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P s = K τ 2 + 2 τ ζ s + 1

G C = τ 2 + 2 τ ζ s + 1 K 1 τ c s

Precisamos deixar a expressão acima parecida com a de um PID em paralelo:

G C = K C 1 + 1 τ i s + τ d s

Colocando 2 ζ τ K τ c em evidência:

G C = 2 ζ τ K τ c τ 2 ζ s + 1 + 1 2 ζ τ s

Mudando a ordem dos termos entra parênteses:

G C = 2 ζ τ K τ c 1 + 1 2 ζ τ s + τ 2 ζ s

Passo 3

Agora, já podemos comparar a expressão para o controlador que encontramos com a expressão geral do PID em paralelo:

G C = 2 ζ τ K τ c 1 + 1 2 ζ τ s + τ 2 ζ s

G C = K C 1 + 1 τ i s + τ d s

Portanto, as fórmulas de sintonização serão as seguintes:

K C = 2 ζ τ K τ c

τ i = 2 ζ τ

τ d = τ 2 ζ

Resposta

K C = 2 ζ τ K τ c

τ i = 2 ζ τ

τ d = τ 2 ζ

Exercício Resolvido #8

Configure um controlador PI que dê uma resposta de primeira ordem em malha fechada para

a seguinte função de transferência em malha aberta:

G P s = K τ s + 1 e - θ s

A resposta desejada é a de primeira ordem com tempo morto.

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por: