Modelos térmicos

Teoria Completa

Introdução

E aí, tudo na paz? Pronto para aprender mais um tipo de modelagem de processos?

Agora iremos ver um pouco sobre os processos térmicos. Aqueles que o nosso principal objetivo é entender o comportamento da energia em um sistema, ou em outras palavras, da temperatura.

Por exemplo, olha só esse amorzinho aqui:

Aqui, nós temos um tanque. Nesse tanque existe uma corrente de entrada m ˙ i (mássica) com uma temperatuta T i , e também uma corrente de saída m ˙ (mássica) com uma temperatura T . Além disso também temos uma fonte de aquecimento via serpentina Q ˙ e um sistema de agitação.

Nosso objetivo aqui, vai ser saber como a temperatura no tanque vai variar dado todo esse cenário que a gente descreveu aí em cima.

Vamos juntos?

Considerações

Eu sei que você, jovem padawan, já está todo empolgado e doido para colocar a mão na massa né? Mas calma lá. Antes da gente começar a destrinchar esse modelo matemático de fato, temos que fazer algumas considerações.

Essas considerações são importantes porque são elas que vão respaldar todos os passos que tomarmos durante o nosso raciocínio, além disso, muitas das vezes fazemos considerações que podem facilitar os nossos cálculos, mas sempre sendo razoáveis, não vá se empolgar nas simplificações.

Vamos pensar juntos então em quais hipóteses assumiremos para o nosso modelo:

  1. Volume constante: isso quer dizer que a vazão de entrada é igual à vazão de saída do tanque, ou, m ˙ i = m ˙ , mantendo o volume do tanque sempre constante
  2. Mistura perfeita: como temos um tanque agitado, assumiremos que essa agitação acontece de forme perfeita, ou seja, o fluido tem as mesmas propriedades em todos os pontos do tanque, é o famoso “parâmetros concentrados”. Essa hipótese será importante para nós pois por causa dela, a temperatura da corrente de saída será a mesma da temperatura dentro do tanque.
  3. Densidade ρ e capacidade calorífica C p constantes: essas propriedades são muito importantes para a determinação do nosso modelo e assumiremos que as mesmas se comportam como constantes durante todo o processo
  4. Perdas de calor negligenciáveis: o tanque não troca energia com o meio externo.
  5. Trabalho do eixo negligenciável: o trabalho que o agitador desempenha pode ser desprezado e não afeta a temperatura do tanque.

Em geral todas as suposições que fizemos são bem razoáveis e com certeza nos ajudarão com a nossa modelagem. A não ser que esteja dito explicitamente no enunciado do seu exercício, ou que seu professor peça para você considerar essas coisas você sempre poderá assumir essas hipóteses como verdadeiras (YEEEEEY!!).

Bom, agora a gente já tem a faca e o bolo na mão, partiu?

Balanço de energia

Toda vez que estivermos trabalhando com processos térmicos devemos começar sempre pelo balanço de energia. E aí você me pergunta: “Mas toda vez?” E eu te respondo: “SIM, toda vez!”

Calma, calma, calma. Eu sei que só de ouvir balanço de energia a gente já se treme todo, mas vamos com calma que o inimigo cai. Para relembrar a expressão geral do balanço de energia:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

No nosso sistema nós temos uma corrente de entrada com uma temperatura T i então temos energia entrando, também temos uma corrente de saída com uma temperatura T , então temos uma taxa de saída de energia.

Além disso, ainda existe uma taxa de geração de energia Q ˙ que é o sistema de aquecimento do tanque, nesse caso, a serpentina. Entretanto não existe nenhuma taxa de energia sendo consumida, sendo assim, o último termo do nosso balanço é nulo, e nossa expressão fica assim:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a

O nosso acúmulo de energia, pode ser descrito como a variação da energia total do sistema U ao longo do tempo:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U d t

A energia de uma corrente é dada pela sua vazão mássica vezes a sua capacidade calorífica específica vezes a sua temperatura.

Os termos de entrada e saída podem ser escritos da seguinte forma:

E n t r a = m ˙ i c ^ p T i

S a i = m ˙ c ^ p T

Isso porque:

∆ U = m C p ∆ T

Lembrando que m ˙ i é a vazão mássica de entrada, m ˙ é a vazão mássica de saída, e m sem nada em cima é a massa dentro do tanque.

Só lembrando que os termos referentes à energia cinética, aquela relacionada à velocidade, e energia potencial, aquela que acontece quando existe um diferencial de nível, não foram considerados porque as suas variações serão praticamente nulas (e na maioria dos casos você poderá fazer essa aproximação também).

A geração de calor pode ser escrita simplesmente como Q ˙ :

G e r a d o = Q ˙

Além disso, a energia total U também pode ser substituída pela energia total específica:

U = m u ^

Sendo assim, nossa expressão de balanço de energia até agora tem essa cara aqui:

d m u ^ d t =   m ˙ i c ^ p T i - m ˙ c ^ p T + Q ˙

Para substâncias líquidas, podemos fazer a seguinte consideração:

d u ^ = d h ^ = c ^ p d T

Lembrando que todos os termos com chapeuzinho são referentes a propriedades específicas (aquelas que estão em base mássica). Não me vá esquecer isso hein.

Já estamos quase no fim do nosso balanço, ele já está bem bonitinho olha só:

m c ^ p d T d t =   m ˙ i c ^ p T i - m ˙ c ^ p T + Q ˙

Como o volume do tanque é constante, a taxa com que a nossa corrente de entrada entra tem que ser igual à taxa da saída, sendo assim a vazão de entrada é igual a vazão de saída:

m ˙ = m ˙ i

m c ^ p d T d t =   m ˙ c ^ p T i - T + Q ˙

Rearranjando nossa expressão:

d T d t = m ˙ m T i - T + Q m c ^ p ˙

Ou ainda, podemos reescrever a equação final do balanço de energia em termos de volume fazendo as seguintes substituições:

m ˙ = ρ q

m = ρ V

d T d t = q V T i - T + Q ρ V c ^ p ˙

Viu, nem doeu né?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 89, Problema 3-4. Adapatado

Considere o sensor de temperatura esboçado na figura abaixo. O bulbo e sua fonte térmica vizinha estão em uma temperatura uniforme T b ( t ) , e a vizinha está em uma temperatura uniforme T s ( t ) . A troca de calor entre a vizinhança e o bulbo é dada por:

q t = h A T s t - T b t

Onde:

q t → proporção de transferência de calor, J / s

h →   coeficiente de calor de convecção do filme, J / s m 2 º C  

A → área entre o bulbo e sua vizinhança

Considere M ,   k g , a massa do bulbo e da fonte térmica, e C v ,   J / k g º C , sua capacidade calorífica. Obtenha a função de trsnferência que descreve a a resposta de temperatura do bulbo quando a temperatura da vizinhança varia. Liste todas as suposições e desenhe o diagrama de blocos para o bulbo.

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Passo 1

Antes de começar, devemos fazer nossas suposições.

Para fazer a modelagem desse bulbo, existem duas coisas que devemos considerar principalmente. Primeiro que o o bulbo se encontra a parâmetros concentrados, ou seja, a temperatura em qualquer parte do bulbo é a mesma.

Segundo, devemos considerar que não existem perdas. Toda e qualquer troca de energia acontece exclusivamente do bulbo para a vizinhança ou da vizinhança para o bulbo.

Passo 2

Vamos começar fazendo o balanço de energia para a temperatura no bulbo:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Para esse caso, não temos nenhuma fonte de geração ou consumo de energia. Sendo assim, o balanço de enregia pode ser reduzido a:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

A relação entre a quantidade de energia que entra e sai do nosso sistema (bulbo) já foi dada do enunciado:

E n t r a - S a i = q t = h A T s t - T b t

Logo:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = h A T s t - T b t

E o Acúmulo de enercia:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U d t = d M C v T b t d t = M C v d T b t d t

Por fim:

M C v d T b t d t = h A T s t - T b t

Passo 3

Antes de prosseguir, vamos rearranjar a EDO para conseguir trabalhar mais facilmente com ela. Sendo assim, vamos colocar todos os termos com T b ( t ) do lado esquerdo da equação.

M C v d T b t d t + h A T b t = h A T s t           ( 1 )

Além disso, precisamos ainda passar as nossas variáveis para variáveis desvio. Para isso, vamos reescrever a equação com todos as variáveis no estado inicial (vamos representar com uma barra):

M C v d T b - d t + h A T b - = h A T s -           ( 2 )

Fazendo 1 - ( 2 ) :

M C v d T b t - T b - d t + h A T b t - T b - = h A T s t - T s -

Agora, vamos definir nossas variáveis desvio:

Γ b t = T b t - T b -

Γ s t = T s t - T - s

Fazendo as substituições:

M C v d Γ b t d t + h A Γ b t = h A Γ s t             ( 3 )

Passo 4

Agora já está tudo pronto para podermos prosseguir para o próximo passo que é a aplicação da transformada de Laplace.

Aplicando Laplace em ( 3 ) teremos:

M C v s Γ b s + h A Γ b s = h A Γ s ( s )

A transformada de Laplace é uma parte muito importante da resolução desse exercício. Se você não tá com esse assunto afiado, seria bacana dar uma revisada nesse tópico!

Rearranjando:

M C v s + h A Γ b s = h A Γ s ( s )

Portanto, a função de transferência será:

Γ b s Γ s s = h A M C v s + h A

Ou:

Γ b s Γ s s = 1 M C v h A s + 1

E o diagrama de blocos:

Resposta

Γ b s Γ s s = 1 M C v h A s + 1

Exercício Resolvido #2

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 89, Problema 3-5. Adapatado

Água quente a uma vazão de 2   L / m i n