Modelos em variáveis de estado

Teoria Completa

Introdução

Até aqui nós vimos como modelar processos térmicos, fluídicos, elétricos e mecânicos sempre representando esses processos com uma equação diferencial que rege esse processo e depois aplicando transformada de Laplace para encontrar a função de transferência no domínio do tempo.

Essa abordagem para representar processos em controle de processos no domínio da frequência é conhecida como controle clássico. Isso porque os primeiros estudos em controle de processos todos usaram dessa técnica.

Mas teria como representar esses mesmos modelos no domínio do tempo e conseguir resolver os problemas de controle de processo da mesma forma?

Sim, teria. A partir da década de 60, uma outra abordagem surgiu, a representação em variáveis de estados. Essa outra abordagem é conhecida hoje como controle moderno.

A representação de modelos em variáveis de estado tem como objetivo representar os processos no domínio do tempo usando-se uma certa quantidade de equações de primeira ordem disposta de forma matricial.

Esse modelo tem esse nome pois ele parte do princípio que conhecendo-se as entradas de um processo, e as variáveis de estado no tempo inicial, é possível conhecer as variáveis de saída em qualquer instante t .

Definições

Vamos então começar a entender melhor como funciona a representação em variáveis de estado e o que cada coisa quer dizer.

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (as varáveis de estado) que, conhecendo-se essas variáveis no início do processo, juntamente com as entradas ao longo do processo, determina o comportamento do processo para qualquer instante futuro.

Um exemplo prático seria um tanque que está sendo enchido por uma certa corrente de entrada e queremos saber o nível desse tanque. Conhecendo o estado inicial (o nível inicial do líquido), as excitações de entrada (a vazão da entrada) e a dinâmica (a área desse tanque) será possível determinar o nível desse tanque em qualquer momento futuro.

Nessa seção, vamos denotar sempre as variáveis de entrada como u ( t ) , as variáveis de estado como x ( t ) e as saídas como y ( t ) .

Quando trabalhamos com variáveis de estado nosso objetivo final será sempre obter uma representação matricial das n variáveis de estado que descrevem um sistema:

x ˙ t = A x t + B u ( t )

Para um sistema com duas variáveis de estado e uma entrada, a representação matricial teria o seguinte modelo:

x ˙ 1 x ˙ 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 t x 2 t + b 11 b 21 u ( t )  

O número de variáveis de estado necessárias para um modelo é igual ao número de equações desse modelos vezes a ordem das dessa equação.

Exemplo

Vamos tentar modelar o sistema massa-mola-amortecedor em variáveis de estado:

Nesse sistema, u ( t ) é a força aplicada sobre o corpo (variável entrada), e y ( t ) é a posição do corpo (variável de saída).

A EDO que rege esse sistema é:

u = M d y 2 d t + b d y d t + k y                 ( 1 )

Esse desenvolvimento foi explicado na teoria de modelos mecânicos, se você tem dúvidas de como chegar nele, seria bacana dar uma revisada lá.

Como temos uma equação de segunda ordem precisamos definir duas variáveis de estado x 1 , x 2 .

Já que a resposta desse sistema é a posição do corpo y t , podemos definir nossas variáveis de estado como sendo a própria posição do corpo, e sua velocidade. Portanto:

x 1 t = y t                 ( 2 )

x 2 t = d y t d t               ( 3 )

Dica: muitas vezes, será interessante usar como variável de estado a própria resposta do sistema.

Vamos substituir as variáveis de estado na EDO do sistema:

u t = M d x 2 d t + b x 2 + k x 1               ( 4 )

A gente precisa desenrolar duas equações para montar nossa matriz, uma para x ˙ 1 e outra para x ˙ 2 .

Para x ˙ 1 tá na cara já. Da Equação ( 3 ) :

x ˙ 1 = x 2                   ( 5 )

Para x ˙ 2 , vamos rearranjar a equação ( 4 ) :

u = M x ˙ 2 + b x 2 + k x 1

Isolando x ˙ 2 :

x ˙ 2 = - k M x 1 - b M x 2 + 1 M u           ( 6 )

A partir das expressões ( 5 ) e ( 6 ) , já temos as duas equações necessárias para montar nossa matriz:

x ˙ 1 x ˙ 2 = 0 1 - k M - b M x 1 t x 2 t + 0 1 M u ( t )

A expressão para a resposta y ( t ) em função das variáveis de estado também pode ser escrita.

Como:

y t = x 1 ( t )

y t = 1 0 x 1 x 2

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Exercício Resolvido #1

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E3.1, pag 127

Para o circuito mostrado na figura abaixo, identificar um possível conjunto de variáveis de estado.

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Passo 1

Para um determinado problema existe mais de um conjunto possível de variáveis de estado.

Para esse circuito R L C com duas malhas, precisaremos de três variáveis de estado.

Para esse caso, nós podemos definir V 1 como a nossa entrada e a corrente i 1 , que passa pelo indutor L 1 , como uma variável de estado; a corrente i 2 , que passa pelo indutor L 2 , como outra variável de estado, e a tensão V C 2 em C 2 como a terceira variável de estado.

Sendo assim:

u = V 1

x = x 1 , x 2 , x 3 = ( i 1 , i 2 , V C 2 )

Resposta

u = V 1

x = x 1 , x 2 , x 3 = ( i 1 , i 2 , V C 2 )

Exercício Resolvido #2

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E3.2, pag 127

Um sistema de acionamento do braço de um robô para uma junta de articulação pode ser representado pela equação diferencial abaixo:

d v t d t = - k 1 v t - k 2 y t + k 3 i ( t )

Onde v ( t ) é a velocidade, y ( t ) é a posição e i ( t ) é a corrente do motor de controle. Expressar a equação na forma de variáveis de estado e configurar a forma matricial para k 1 = k 2 = 1 .

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Passo 1

Precisamos escrever a equação diferencial no modelo de variáveis de estado. A equação em questão é:

d v t d t = - k 1 v t - k 2 y t + k 3 i ( t )

E como a velocidade é a derivada do espaço:

d y t d t = v ( t )

Temos então duas equações de ordem 1, logo, precisamos definir duas variáveis de estado x = ( x 1 ,   x 2 ) .

Vamos definir a própria velocidade e posição como sendo nossas variáveis de estado:

x 1 = y ( t )

x 2 = v ( t )

E vamos definir a corrente do motor de controle como sendo a entrada:

u t = i ( t )

Passo 2

Para escrever a EDO em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para as derivadas das nossas variáveis de estado. Para x 1 (posição) é mais fácil porque a derivada da posição é a velocidade ( x 2 ):

x ˙ 1 = x 2

Para encontrar uma expressão para x 2 ˙ , vamos substituir as variáveis de estado na EDO:

x 2 ˙ = - k 1 x 2 - k 2 x 1 + k 3 u

Sendo assim, a nossa equação diferencial do vetor do estado ficará:

x ˙ = 0 1 - k 2 - k 1 x + 0 k 3 u

Passo 3

Assumindo k 1 = k 2 = 1 , teremos:

x ˙ = 0 1 - 1 - 1 x + 0 k 3 u ( t )

Resposta

x ˙ = 0 1 - 1 - 1 x + 0 k 3 u ( t )

Exercício Resolvido #3

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E3.4, pag 128

Obtenha a forma matricial de variáveis de estado com variáveis de fase para um sistema com equação diferencial:

2 d y 3 d t 3 + 4 d y 2 d t 2 + 6 d y d t + 8 y = 10   u ( t )

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Passo 1

O primeiro passo é sempre montar definir o nosso conjunto de variáveis de estado.

O número de variáveis de estado é igual ao npumero de equações diferenciais vezes a ordem dessas equações. Nesse caso temos uma EDO de terceira ordem, então precisamos de três variáveis de estado, x = ( x 1 ,   x 2 , x 3 ) .

Vamos arbitrar:

x 1 = y

x 2 = d y d t

x 3 = d 2 y d t 2

Vamos substituir as variáveis de estado na EDO:

2 x 3 ˙ + 4 x 3 + 6 x 2 + 8 x 1 = 10   u ( t )

Passo 2

Para escrever a EDO em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para as derivadas das nossas variáveis de estado.

Pela definição das variáveis de estado, podemos afirmar que:

x ˙ 1 = x 2

E

x ˙ 2 = x 3

Para encontrar a expressão de x ˙ 3 , vamos rearranjar a nossa EDO:

2 x 3 ˙ + 4 x 3 + 6 x 2 + 8 x 1 = 10   u ( t )

x ˙ 3 = - 4 x 1 - 3 x 2 - 2 x 3 + 5 u

Passo 3

Como já temos o nosso vetor x ˙ , já podemos escrever a equação diferencial do vetor de estado:

x ˙ = 0 1 0 0 0 1 - 4 - 3 - 2 x + 0 0 5   u

Resposta

x ˙ = 0 1 0 0 0 1 - 4 - 3 - 2 x + 0 0 5   u

Exercício Resolvido #4

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E3.12, pag 128

Usar modelo em variáveis de estado para descrever o modelo do circuito abaixo. Utilize a corrente e a tensão no capacitor como variáveis de estado.

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Passo 1

Vamos começar aplicando a lei das malhas no nosso circuito. Como só temos uma mlaha no circuito, só teremos uma equação:

V i n = R i + L d i d t + V c                     ( 1 )

Além disso, vamos estabelecer uma relação entre V C e a corrente i :

V C = ∫ i   d t                         ( 2 )

Passo 2

Para escrever a EDO em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

O exercício já determinou qual será o nosso vetor de variáveis de estado:

x = x 1 , x 2 = ( i , V C )

Além disso, podemos assumir que a nossa entrada u será a tensão de entrada do sistema:

u = V i n

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para as derivadas das nossas variáveis de estado.

Sunstituindo as variáveis de estado nas expressões ( 1 ) e ( 2 ) , teremos:

u = R x 1 + L d x 1 d t + x 2                 ( 3 )

x 2 = ∫ x 1   d t                     ( 4 )