Teoria

A representação de modelos em variáveis de estado tem como objetivo representar os processos no domínio do tempo usando-se uma certa quantidade de equações de primeira ordem disposta de forma matricial.

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Esse modelo tem esse nome pois ele parte do princípio que conhecendo-se as entradas de um processo, e as variáveis de estado no tempo inicial, é possível conhecer as variáveis de saída em qualquer instante .

Variáveis de Estado
Variáveis de Estado

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (as varáveis de estado) que, conhecendo-se essas variáveis no início do processo, juntamente com as entradas ao longo do processo, determina o comportamento do processo para qualquer instante futuro.


Um exemplo prático seria um tanque que está sendo enchido por uma certa corrente de entrada e queremos saber o nível desse tanque. Conhecendo o estado inicial (o nível inicial do líquido), as excitações de entrada (a vazão da entrada) e a dinâmica (a área desse tanque) será possível determinar o nível desse tanque em qualquer momento futuro!


Nessa seção, vamos denotar sempre as variáveis de entrada como , as variáveis de estado como e as saídas como . Quando trabalhamos com variáveis de estado nosso objetivo final será sempre obter uma representação matricial das n variáveis de estado que descrevem um sistema:

Para um sistema com duas variáveis de estado e uma entrada, a representação matricial teria o seguinte modelo:

O número de variáveis de estado necessárias para um modelo é igual ao número de equações desse modelos multiplicado pela ordem das dessa equação.

Exemplo: Modele o sistema massa-mola-amortecedor abaixo em variáveis de estado

Exemplo de modelagem: Sistema massa-mola
Exemplo de modelagem: Sistema massa-mola

Nesse sistema, é a força aplicada sobre o corpo, e será a nossa variável entrada, e é a posição do corpo ou seja, a variável de saída. A EDO que rege esse sistema é:

Esse desenvolvimento foi explicado na teoria de modelos mecânicos, se você tem dúvidas de como chegar nele, seria bacana dar uma revisada lá! Como temos uma equação de segunda ordem precisamos definir duas variáveis de estado , . Já que a resposta desse sistema é a posição do corpo , podemos definir nossas variáveis de estado como sendo a própria posição do corpo, e sua velocidade. Portanto:

Vamos substituir as variáveis de estado na EDO do sistema:

A gente precisa desenrolar duas equações para montar nossa matriz, uma para e outra para . Assim:

Isolando :

A partir das expressões acima já temos as duas equações necessárias para montar nossa matriz:

A expressão para a resposta em função das variáveis de estado também pode ser escrita.
Como:

Prontinho! Agora vamos praticar com exercícios?

Exemplo: Modele o sistema massa-mola-amortecedor abaixo em variáveis de estado