Exercícios Resolvidos de Sistemas de segunda ordem

Ver Teoria

Enunciado

A figura acima representa a resposta da variável de saída a uma perturbação degrau de magnitude 2 unidades na variável de entrada de um sistema de segunda ordem, a partir de um instante em que o processo estava em regime permanente. Com base nessas informações, conclui-se que

a) o sistema I tem fator de amortecimento ( ζ ) maior que o sistema II.

b) o tempo de subida (ou ascensão) do sistema I é 10 min.

c) os dois sistemas têm fator de amortecimento ( ζ ) maiores do que 1 .

d) a sobreelevação do sistema II é 0,6 .

e) o sistema I é mais estável quando comparado ao sistema II.

Passo 1

Temos aqui então, um gráfico com a resposta de dois processos de segunda ordem. Podemos notar que ambos os processos são subamortecidos, uma vez que apresentam respostas oscilatórias.

Vamos analisar cada uma das alternativas.

Passo 2

A afirmação da alternativa (a) diz que o sistema I tem fator de amortecimento maior que o sistema II.

Nós sabemos que sistemas subamortecidos tem fator de amortecimento entre 0 e 1 , e que quanto mais próximo de 0 , mais oscilatório ele será, e menos oscilatório conforme ele se aproxima de 1 .

O gráfico nos mostra que o sistema I é mais oscilatório que o sistema II, portanto, seu fator de amortecimento, ζ , é menor.

Então, a alternativa (a) é falsa.

Passo 3

A alternativa (b) afirma que o tempo de subido do sistema I é de 10 minutos.

O tempo de subida é definido como o tempo que o sistema leva para ir de 10 % até 90 % da resposta do valor final. Pelo gráfico podemos perceber que esse valor é bem menos que 10 minutos (aproximadamente metade disso).

Portanto, a alternativa (b) também é falsa.

Passo 4

A alternativa (c) diz que os dois sistemas tem fator de amortecimento maior que 1 .

Como já falamos no passo 1, ambos os sistemas são subamorteidos e portanto têm fator de amortecimento entre 0 e 1 .

A alternativa (c) é falsa, portanto.

Passo 5

A alternativa (d) diz que a sobrelevação do sistema II é 0,6 .

Sobrelevação é uma outra forma de se definir overshoot, que é a razão entre o valor que o primeiro pico excede o estado estacionário e a variação do estado estacionário.

Para o sistema II, podemos ver pelo gráfico que o primeiro pico acontece em 1,6 , e que o estado estacionário é em 1,0 . Sendo assim:

O S = 1,6 - 1,0 1,0 - 0 =     0,6

A alternativa (d), portanto, é verdadeira.

Passo 6

A alternativa (e) afirma que o sistema I é mais estável que o sistema II.

O gráfico nos mostra que o sistema II se aproxima da resposta final muito mais rapidamente que o sistema I, além disso, podemos dizer que de forma geral quanto mais oscilatório for um sistema, menos estável ele é. Como o sistema I é mais oscilatório que o sistema II, ele é menos estável.

Então, a alternativa (e) também é falsa.

Resposta

d) a sobreelevação do sistema II é 0,6 .