Exercícios Resolvidos de Sistemas de segunda ordem

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Enunciado

A função de transferência de um sistema dinâmico de 2ª ordem é dada por:

Y s U s = 1 0,64 s 2 + 0,48 s + 1  

Considerando uma perturbação do tipo degrau unitário, responda:

a) Quais os valores do fator de amortecimento e da constante de tempo?

b) Como este sistema pode ser classificado quanto ao seu amortecimento?

c) Quais os valores máximo (pico) e estacionário atingidos pela resposta após a perturbação?

d) Quais os tempos de primeiro pico e de estabilização?

Passo 1

O enunciado nos deu uma função de primeira ordem e nos pediu para caracterizar uma série de parâmetros com base na sua função de transferência.

Para Isso, precisaremos comparar a função de transferência que foi dada, com a função de transferência padrão de segunda ordem:

Y s U s = K τ 2 s 2 + 2 τ ζ s + 1

Como na noss F.T. já temos aquele 1 no denominador, não precisaremos alterar nada nela para que ela se adeque, já que ela já está no formato que precisamos.

Passo 2

O item (a) pede que a gente calcule o fator de amortecimento ( ζ ) e a constante de tempo ( τ ).

A gente pode encontar esses valores comparando a expressão do passo 1 com a função de transferência:

τ = 0,64 = 0,8

2   .   0,8   .   ζ = 0,48

ζ =   0,3

Não foi pedido para a gente calcular o ganho ( K ), mas o que que custa não é mesmo?

K = 1

Passo 3

O item (b) pede a classificação do sistema quanto ao seu amortecimento.

Essa classificação depende diretamente do fator de amortecimento ( ζ ):

ζ = 0,3

O nosso fator de amortecimento está entre 0 e 1 , e quando ele se encontra nessa faixa, o sistema é classificado como subamortecido.

Passo 4

O item (c) pede o valor máximo de pico e de estado estacionário.

O valor de estado estacionário pode ser calculado sempre como o ganho vezes a amplitude do degrau. Como o ganho é 1 e a amplitude do degrau também é 1 , o valor do estado estacionário também será 1.

O valor máximo de pico pode ser calculado através do overshoot ( O S ):

O S =   e - π ζ 1 - ζ 2

O S =   e - π . 0,3 1 - 0,3 2 = 0,37

Como o overshoot por definição é a razão entre a quantidade que o primeiro pico excedeu o estado estacionário sobre a variação do estado estacionário, podemos dizer que:

O S = 0,37 = e x c e s s o   d o   p r i m e i r o   p i c o   e m   r e l a ç ã o   a o   e s t a d o   e s t a c i o n á r i o 1

Logo o excesso do primeiro pico em relação ao estado estacionário será 0,37 e o valor absoluto do primeiro pico será 1,37 .

Passo 5

O tempo de primeiro pico pode ser calculado a partir da fórmula:

t p =   π τ 1 - ζ 2

t p =   π . 0,8 1 - 0,3 2 = 2,63

O tempo de estabilização (para uma faixa de 5 % ) pode ser calculado como:

t s = 3 τ ζ

t s = 3.0,8 0,3 = 8

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)