Exercícios Resolvidos de Tensões Principais

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Enunciado

A barra abaixo foi sujeita ao carregamento mostrado.

Sabendo que o raio da peça é de 30 mm e que o fator de segurança usado para essa peça para a tensão Normal foi de 1,47 e que para a tensão Cisalhante foi de 2,11 no pior caso de carregamento possível, determine os valores de σ a d m e τ a d m .

Passo 1

Nessa questão sabemos que devemos determinar o valor das tensões admissíveis, para isso vemos na fórmula abaixo que precisamos do valor do fator de segurança que é dado no enunciado e do valor das tensões máximas tanto cisalhante quanto normal, que já veremos como determinar. Sabemos que

F S = τ a d m τ m á x

Ou

F S = σ a d m σ m á x

Que nos fornece o fator de segurança para cada tensão

Também sabemos que devemos determinar o estado de tensões da nossa peça, e com base nesse estado de tensões faremos

σ m e d = σ x + σ y 2

Que nos fornece a média das tensões

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Que nos da o cisalhante máximo que o nosso elemento foi submetido

A última fórmula é dada por

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Que de fato nos fornece o valor das tensões principais que serão usadas no nosso fator de segurança.

Passo 2

Olhando a nossa figura sabemos que devemos fazer primeiro um elemento infinitesimal na nossa peça, como mostra a figura

Sabemos que o que estará agindo no nosso elemento é um esforço de tração dado pela fórmula

σ = N A

Sabemos que

N = 240   K N

A = π r 2 = π . 30   .   10 - 3 2 = 2,83   . 10 - 3 m 2

Substituindo teremos que

σ = 240 2,83   .     10 - 3 = 84805,6 K N m 2 = 84,8   M p a

Olhando o nosso elemento infinitesimal, teremos que

Assim como temos as fórmulas, também temos os dados necessários para resolver a questão, que são dados por

τ x y = 0

σ x = + 84,8

σ y = 0

Vamos resolvendo agora cada fórmula passo a passo

Passo 3

Agora que já sabemos os dados, vamos determinar os valores necessários para encontrarmos os valores das tensões principais.

Sabemos que

σ m e d = σ x + σ y 2

Então

σ m e d = 84,8 + 0 2 = 42,4

Também sabemos que

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Logo

R = 84,8 - ( 0 ) 2 2 + 0 2 = 42,4

Passo 4

Como já temos esses valores, podemos facilmente determinar os valores das tensões máximas pelas fórmulas

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Substituindo

σ 1 = 42,4 + 42,4 = 84,8

σ 2 = 42,4 - 42,4 = 0

O cisalhante máximo é muito simples, é o próprio valor do R que já calculamos

τ m a x = 42,4

Passo 5

Sabemos que para determinarmos o fator de segurança devemos fazer a divisão entre a maior tensão suportada pela peça e a maior tensão aplicada a peça, dessa forma temos a fórmula

F S = τ a d m τ m á x

Ou

F S = σ a d m σ m á x

Sabemos que

F S τ = 2,11  

F S σ = 1,47

E com relação as tensões máximas teremos que

τ m a x = 42,4   M P a

σ m á x =   84,8   M P a

Substituindo teremos que

2,11 = τ a d m 42 , 4

1,47 = σ a d m 84,8

Fazendo isso teremos que

τ a d m = 89,46   M p a

σ a d m = 124,6   M p a

Resposta

τ a d m = 89,46   M p a

σ a d m = 124,6   M p a

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